数据结构-二叉树

本文介绍: 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第。：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是。：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点；

一、树型结构

1、概念

树是一种
非线性
的数据结构，它是由
n
（
n>=0
）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树，是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的
。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点；

除根结点外，其余结点被分成M(M > 0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；

树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2、概念（重要）

结点的度
：一个结点含有子树的个数称为该结点的度；如上图：
A
的度为
6

树的度
：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度；如上图：树的度为
6

叶子结点或终端结点
：度为
0
的结点称为叶结点；如上图：
B
、
C
、
H
、
I…
等节点为叶结点

双亲结点或父结点
：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：
A
是
B
的父结点

孩子结点或子结点
：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：
B
是
A
的孩子结点

根结点
：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：
A

结点的层次
：从根开始定义起，根为第
1
层，根的子结点为第
2
层，以此类推

树的高度或深度
：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为
4

树的以下概念只需了解：

非终端结点或分支结点
：度不为
0
的结点；如上图：
D
、
E
、
F
、
G…
等节点为分支结点

兄弟结点
：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图：
B
、
C
是兄弟结点

堂兄弟结点
：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：
H
、
I
互为兄弟结点

结点的祖先
：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：
A
是所有结点的祖先

子孙
：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是
A
的子孙

森林
：由
m
（
m>=0
）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3、树的表示形式（了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：
双亲表示法
、孩子表示法
、
孩子双亲表示法
、
孩子兄弟表示法
等等。我们这里就简单的了解其中最常用的
孩子兄弟表示法
。

class Node {
    int value; // 树中存储的数据
    Node firstChild; // 第一个孩子引用
    Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

4、树的应用

文件系统管理（目录和文件）：

二、二叉树（重点）

1、概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

或者为空
或者是由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

从上图可以看出：

二叉树不存在度大于2的结点
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2、两种特殊的二叉树

1、
满二叉树
:
一棵二叉树，如果
每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树
。也就是说，
如果一棵
二叉树的层数为K，且结点总数是
2^k – 1
，则它就是满二叉树。

2、
完全二叉树
:
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为
K
的，有
n
个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为
K
的满二叉树中编号从
0
至
n-1 的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

3、二叉树的性质

1.
若规定
根结点的层数为
1
，则一棵
非空二叉树的第
i
层上最多有 2^(i – 1) (i>0)
个结点

2.
若规定只有
根结点的二叉树的深度为
1
，则
深度为
K
的二叉树的最大结点数是 2^k – 1
(k>=0)

3.
对任何一棵二叉树
,
如果其
叶结点个数为
n0,
度为
2
的非叶结点个数为
n2,
则有
n0
＝
n2
＋
1

4.
具有
n
个结点的完全二叉树的深度
k
为 log(n+1) （以2为底）上取整

5.
对于具有
n
个结点的完全二叉树
，如果按照
从上至下从左至右的顺序对所有节点从
0
开始编号
，则对于
序号为
i 的结点有
：

若i>0，双亲序号：(i-1)/2；i=0，i为根结点编号，无双亲结点
若2i+1<n，左孩子序号：2i+1，否则无左孩子
若2i+2<n，右孩子序号：2i+2，否则无右孩子

下面是几个例题：

1.
某二叉树共有
399
个结点，其中有
199
个度为
2
的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（）

A
不存在这样的二叉树

B 200

C 198

D 199

2.
在具有
2n
个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（）

A n

B n+1

C n-1

D n/2

3.
一个具有
767
个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）

A 383

B 384

C 385

D 386

4.
一棵完全二叉树的节点数为
531
个，那么这棵树的高度为（）

A 11

B 10

C 8

D 12

答案：

1.B 2.A
3.B
4.B

4、二叉树的存储

二叉树的存储结构分为：顺序存储和类似于链表的链式存储。

二叉树的链式存储是通过一个一个的节点引用起来的，常见的表示方式有二叉和三叉表示方式
，具体如下：

// 孩子表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
}
// 孩子双亲表示法
class Node {
    int val; // 数据域
    Node left; // 左孩子的引用，常常代表左孩子为根的整棵左子树
    Node right; // 右孩子的引用，常常代表右孩子为根的整棵右子树
    Node parent; // 当前节点的根节点
}

下面采用孩子表示法来构建二叉树。

5、二叉树的基本操作

5.1 前置说明

在学习二叉树的基本操作前，需先要创建一棵二叉树，然后才能学习其相关的基本操作。
此处先手动快速创建一棵简单的二叉树，快速进入二叉树操作学习，这里并不是
二叉树真正的创建方式。

public class BinaryTree {
    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;

        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    public TreeNode CreateTree () {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');

        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;  //返回根节点
    }
}

注意：上述代码并不是创建二叉树的方式。

再看二叉树基本操作前，再回顾下二叉树的概念，
二叉树是：

1.
空树

2.
非空：根节点，根节点的左子树、根节点的右子树组成的

从概念中可以看出，二叉树定义是递归式的，因此后序基本操作中基本都是按照该概念实现的。

5.2 二叉树的遍历

1. 前中后序遍历

学习二叉树结构，最简单的方式就是遍历。所谓
遍历
(Traversal)
是指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问
。
访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题
(
比如：打印节点内容、节点内容加
1)
。遍历是二叉树上最重要的操作之一，是二叉树上进行其它运算之基础。

在遍历二叉树时，如果没有进行某种约定，每个人都按照自己的方式遍历，得出的结果就比较混乱，
如果按照某种规则进行约定，则每个人对于同一棵树的遍历结果肯定是相同的
。如果
N
代表根节点，
L
代表根节点的
左子树，
R
代表根节点的右子树，则根据遍历根节点的先后次序有以下遍历方式：

NLR
：前序遍历
(Preorder Traversal
亦称先序遍历
)——
访问根结点
—>
根的左子树
—>
根的右子树。
LNR
：中序遍历
(Inorder Traversal)——
根的左子树
—>
根节点
—>
根的右子树。
LRN
：后序遍历
(Postorder Travers al)——
根的左子树
—>
根的右子树
—>
根节点。

下面分别是递归方法和非递归方法实现前中后序遍历。

递归方法：

//先序遍历
    public void preOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val+" ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }

//中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val+" ");
        inOrder(root.right);
    }

 //后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val+" ");
    }

非递归方法：

 //非递归方法先序遍历
    public void preOrderNor(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null || !stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                System.out.print(cur.val+" ");
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            cur = top.right;
        }
     }

 //非递归方法中序遍历
    public void inOrderNor(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.pop();
            System.out.print(top.val+" ");
            cur = top.right;
        }
    }

//非递归方法后序遍历
    public void postOrderNor(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        TreeNode prev=null;
        Stack<TreeNode> stack = new Stack<>();
        TreeNode cur = root;
        while (cur != null||!stack.isEmpty()) {
            while (cur != null) {
                stack.push(cur);
                cur = cur.left;
            }
            TreeNode top = stack.peek();
            if (top.right==null || top.right==prev) {
                System.out.print(top.val+" ");
                stack.pop();
                prev = top;
            }else {
                cur = top.right;
            }
        }
    }

下面用图来主要分析前序递归遍历，中序与后序图解类似。

该二叉树的：

前序遍历结果：1 2 3 4 5 6
中序遍历结果：3 2 1 5 4 6
后序遍历结果：3 2 5 6 4 1

2. 层序遍历

层序遍历
：除了先序遍历、中序遍历、后序遍历外，还可以对二叉树进行层序遍历。设二叉树的根节点所在层数为
1
，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第
2
层
上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历。

下面是一些相关例题：

1.
某完全二叉树按层次输出（同一层从左到右）的序列为
ABCDEFGH
。该完全二叉树的前序序列为
()

A: ABDHECFG B: ABCDEFGH C: HDBEAFCG D: HDEBFGCA

2.
二叉树的先序遍历和中序遍历如下：先序遍历：
EFHIGJK;
中序遍历：
HFIEJKG.
则二叉树根结点为
()

A: E B: F C: G D: H

3.
设一课二叉树的中序遍历序列：
badce
，后序遍历序列：
bdeca
，则二叉树前序遍历序列为
()

A: adbce B: decab C: debac D: abcde

4.
某二叉树的后序遍历序列与中序遍历序列相同，均为
ABCDEF
，则按层次输出
(
同一层从左到右
)
的序列为
()

A: FEDCBA B: CBAFED C: DEFCBA D: ABCDEF

【答案】
1.A 2.A 3.D 4.A

5.3 二叉树的基本操作

//
获取树中节点的个数

int
size
(
Node root
);

//
获取叶子节点的个数

int
getLeafNodeCount
(
Node root
);

//
子问题思路
–
求叶子结点个数

//
获取第
K
层节点的个数

int
getKLevelNodeCount
(
Node root
,
int
k
);

//
获取二叉树的高度

int
getHeight
(
Node root
);

//
检测值为
value
的元素是否存在

Node
find
(
Node root
,
int
val
);

//
层序遍历

void
levelOrder
(
Node root
);

//
判断一棵树是不是完全二叉树

boolean
isComp leteTree
(
Node root
);

下面是这些基本操作的具体实现代码：

    //统计树的节点个数
    public int size(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left)+size(root.right) +1;
    }

    public int leafNoteSize;
    //获取叶子结点的个数
    //遍历方法
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left==null&amp;&amp;root.right==null) {
            leafNoteSize++;
        }
        getLeafNodeCount(root.left);
        getLeafNodeCount(root.right);
        return leafNoteSize;
    }

     //子问题方法求叶子结点个数
    public int getLeafNodeCount2(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        if (root.left==null&amp;&amp;root.right==null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount2(root.left)+getLeafNodeCount2(root.right);
    }

    //获取二叉树的第k层节点个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if (root == null||k == 0) {
            return 0;
        }
        if (k == 1)  {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1)+getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }

    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return 0;
        }
        int leftHeight = getHeight(root.left);
        int rightHeight = getHeight(root.right);
        return leftHeight > rightHeight ? leftHeight+1:rightHeight+1;
    }

    // 检测值为value的元素是否存在
    public TreeNode find(TreeNode root, int val) {
        if (root == null) {
            return null;
        }
        if (root.val == val) {
            return root;
        }
        TreeNode leftNode = find(root.left,val);
        if (leftNode != null) {
            return leftNode;
        }
        TreeNode rightNode = find(root.right,val);
        if (rightNode != null) {
            return rightNode;
        }
        return null;
    }

     //二叉树层序遍历
    void levelOrder(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);  //先存在队列里
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur = queue.poll();
            System.out.print(cur.val+" ");
            if (cur.left != null) {
                queue.offer(cur.left);
            }
            if (cur.right != null) {
                queue.offer(cur.right);
            }
        }
    }

    //判断是否为完全二叉树
    boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return false;
        }
        Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>();
        queue.offer(root);
        while (!queue.isEmpty()){
            TreeNode cur = queue.poll();
            if (cur!=null) {
                queue.offer(cur.left);
                queue.offer(cur.right);
            }else {
                break;
            }
        }
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode cur1 = queue.poll();
            if (cur1 == null) {
                queue.poll();
            }else {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }