DFS 典型题之 n 皇后（c++版）

本文介绍: 可能出现 b0即可。其实 b是多少不重要，重要的是我们能用b来唯一确定这条对角线，作为一个唯一表示，来映射出这条直线。用数组剪枝一下，填的时候还要注意得能填，不能填的位置不能填，实现剪枝的效果。所以我们可以遍历每一行的所有列，只要在这个点放了皇后，那么直接进入下一行。能填的情况：这一行，这一列，这一正对角线，这一反对角线都无皇后。那么反对角线 y = –x +b 所以b = x+y;正对角线 b = y-x。

n 皇后

前置知识：

根据数学函数 y = x +b;

当不同的一元函数的斜率相同时，唯一能区分他们的就是截距b

因此，可以由 b = y-x 得到不同的对角线直线函数（我们假设这些直线的斜率都是1）

那么反对角线 y = -x +b 所以b = x+y;

正对角线 b = y-x

可能出现b<0 的情况，所以我们给b加一个数当偏移量 c，至于这个数是多少无所谓，只要保证这个数 c+y-x&g t;0即可

其实b是多少不重要，重要的是我们能用b来唯一确定这条对角线，作为一个唯一表示，来映射出这条直线

优化 版本：

整体思路：

全排列思想

因为每一行只能放一个皇后，只要当这一行出现过皇后，那就进入下一行

所以我们可以遍历每一行的所有列，只要在这个点放了皇后，那么直接进入下一行

#include&lt;iostream&gt;

int n;
char q[20][20];
bool f[100],zh[100],fn[100];

void dfs(int u){
    //已经遍历完了所有的行，输出答案
    if(u&gt;n){
        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=n;j++)std::cout<<q[i][j];
            std::cout<<std::endl;
        }
        std::cout<<std::endl;
        return ;
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        //f里面装的是这一列是否已经用过
        //有这三个判断在，只有满足题意的皇后能走到最后一层
        //不符合题意的提前剪枝了
        if(!f[i]&amp;&amp;!zh[i+u]&amp;&amp;!fn[n+u-i]){
            f[i] = zh[i+u] = fn[n+u-i] = true;
            q[u][i] = 'Q';
            dfs(u+1);//进入下一层
             f[i] = zh[i+u] = fn[n+u-i] = false;
             q[u][i] = '.';
        }
    }

}
int main(){

    std::cin&gt;&gt;n;

    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++)q[i][j] = '.';
    dfs(1);
    return 0;

}

原始暴力版

思路：

暴力遍历每一个格子是否能填皇后，所以有两种情况，填和不填

用数组剪枝一下，填的时候还要注意得能填，不能填的位置不能填，实现剪枝的效果

能填的情况：这一行，这一列，这一正对角线，这一反对角线都无皇后

#include<iostream&gt;

const int N=100;
int n;
bool row[N],col[N],pl[N],inv[N];//行，列，正对角线，反对角线
char q[N][N];

void dfs(int x,int y,int num){ //num当前已经有多少八皇后存进去了
    if(y&gt;n)y = 1,x++;
    if(x&gt;n){
        if(num==n){
            for(int i=1;i<=n;i++){
                for(int j=1;j<=n;j++)std::cout<<q[i][j];
                std::cout<<std::endl;
            }
            std::cout<<std::endl;
        }
        return ;
    }
    //不填八皇后
    dfs(x,y+1,num);
    if(!row[x]&amp;&amp;!col[y]&amp;&amp;!pl[x+y]&amp;&amp;!inv[n+y-x]){
        row[x] = col[y] = pl[x+y] = inv[n+y-x]  = true;
        q[x][y] = 'Q';
      
        //因为这一行填了皇后，进入下一行就要从第一列开始判断
        //num可以写在传参也可以写在外面
        //例如 num++;  dfs(x+1,1);num--;
        //记得恢复现场就行
        dfs(x+1,1,num+1);
        row[x] = col[y] = pl[x+y] = inv[n+y-x]  = false;
        q[x][y] = '.';
    }
}
int main(){
    std::cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)for(int j = 1;j<=n ;j++)q[i][j] = '.';
    dfs(1,1,0);
    return 0;
}