ACM程序设计课内实验（1）数学问题

本文介绍: Julius Ca es ar生活在一个危险而又充斥着阴谋的时代。Ca es ar面对的最难的情况关系着他的存亡。为了让自己生存，他决心去创造第一种加密方法之一。这个加密方法听起来是这样的令人难以置信，没有一个人可以指出它（的原文）除非知道它怎样工作。你是Ca es ar军队的一个分队长。你的工作是破译Ca es ar送来的信息并汇报给你的上级。密码很简单，每一个字母对应着一个明文，你将明文向右五步来得到安全的信息。

1.The Har dest Problem Ever

Description
Julius Caes ar生活在一个危险而又充斥着阴谋的时代。Caes ar面对的最难的情况关系着他的存亡。为了让自己生存，他决心去创造第一种加密方法之一。这个加密方法听起来是这样的令人难以置信，没有一个人可以指出它（的原文）除非知道它怎样工作。
你是Caes ar军队的一个分队长。你的工作是破译Caesar送来的信息并汇报给你的上级。
密码很简单，每一个字母对应着一个明文，你将明文向右五步来得到安全的信息。（比如，假如那个字母是‘A’，密文就是‘F’）当你将Caesar的信息中找出明文后，你要反过来做：
加密文本
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
明文文本
V W X Y Z A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U
密文中只有字母被切换了，非字母的字符应该保持不变，所有的字母都是大写的。

Input
这个问题的输入包括一系列（非空）最多100个数据。每一个数据的格式会按照以下格式，并且在不同组数据间不会有空行分隔。所有的字符都是大写的。
一个单独的测试数据包括三个部分：
1. 开始行：单独的一行“START” 。
2. 加密的信息：单独的一行，由1~200个字符组成来自Caesar的一行信息。
3. 结束行：单独的一行“END” 。
最后一组测试数据结束会跟着单独的一行“ENDOFINPUT”。

Output
对每一个测试数据只会有一行输出。它是Caesar的原文。

Sample Input

START
NS BFW, JAJSYX TK NRUTYFSHJ FWJ YMJ WJXZQT TK YWNANFQ HFZXJX
END
START
N BTZQI WFYMJW GJ KNWXY NS F QNYYQJ NGJWNFS ANQQFLJ YMFS XJHTSI NS WTRJ
END
START
IFSLJW PSTBX KZQQ BJQQ YMFY HFJXFW NX RTWJ IFSLJWTZX YMFS MJ
END
ENDOFINPUT

Sample Output

IN WAR, EVENTS OF IMPORTANCE ARE THE RESULT OF TRIVIAL CAUSES
I WOULD RATHER BE FIRST IN A LITTLE IBERIAN VILLAGE THAN SECOND IN ROME
DANGER KNOWS FULL WELL THAT CAESAR IS MORE DANGEROUS THAN HE

#include <iostream&gt;
#include <string&gt;
#include <cctype&gt;
using namespace std;

int main() {
    string input;
    string plaintext;

    while (getline(cin, input) &amp;&amp; input != "ENDOFINPUT" ) {

        if (input != "START" &amp;&amp; input != "END") {

            plaintext = "";

            for (char c : input) {

                if (isalpha(c)) {
                    // 将字符转换为大写字母，然后减去'A'，加上21，再对26取模，最后加上'A'，得到解密后的字符
                    plaintext += (c - 'A' + 21) % 26 + 'A';
                } else {
                    // 如果字符不是字母，则直接添加到明文中
                    plaintext += c;

                }
            }
             cout<<plaintext<<endl;

        }


    }
    return 0;
}

getline函数是C++标准库中的一个函数，用于从输入流（如文件、字符串等）中读取一行文本。它的原型如下：
istream&amp; getline(istream&amp; is, string&amp; str);
参数说明：

is：输入流对象，通常为cin或文件流对象。

str：一个字符串对象，用于存储从输入流中读取的一行文本。

返回值：

返回引用到输入流对象的引用，以便进行链式操作。

2.数的长度

Description
N! (N的阶乘) 是非常大的数，计算公式为：N! = N * (N – 1) * (N – 2) * … * 2 * 1)。现在需要知道N!有多少（十进制）位。
Input
每行输入1个正整数N。0 < N < 1000000
Output
对于每个N，输出N!的（十进制）位数。
Sample Input
1
3
32000
1000000
Sample Output
1
1
130271
5565709

#include <bits/stdc++.h&gt;
using namespace std;
int main()
{
    long long int n;
    while(cin&gt;>n)
    {
        double res=0;
        for(long long int i=1; i<=n; i++)
            res=res+log10(i);//推出数学公式
        printf("%ldn",(long long int)res+1);
    }
    return 0;
}

3.最左的数

描述
 给定一个正整数N，您应该输出N^N的最左边数字。
输入
输入包含几个测试用例。输入的第一行是一个整数T，它是测试用例的数量。接下来是T个测试案例。
每个测试用例都包含一个正整数N（1<=N<=1000000000）。
输出
对于每个测试用例，您应该输出N^N的最左边数字。
样本输入
2.
3.
4.
样本输出
2.
2.
暗示
在第一种情况下，3*3*3=27，因此最左边的数字是2。
在第二种情况下，4*4*4=256，因此最左边的数字是2。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
    int t;scanf("%d",&amp;t);
    while(t--){
	    int n,ans;
	    double b;
	    scanf("%d",&amp;n);
	    b=n*log10(1.0*n);       //求A.B
	    b=b-(int)b;             //求0.B
	    ans=(int)pow(10.0,b);   //求10^0.B的整数部分
	    printf("%dn",ans);
	
    }
    return 0;
}

此题同样需要推数学公式，直接暴力时间太长且数据太大无法存放，推理过程如下：

1、 $n^n = d times 10^{(k-1)}$ ,其中 $k$ 表示 $n^n$ 的位数。

2、等式两边取以10为底的对数得 $d.xxx = 10(log _{10}n^n - k+1)$ 。

3、带入 $k$ 得计算公式的整数部分加1,即 $k = [log _{10}n^n]+1$ 。

4、得到 $d$ 得表达式 $d = (int)(log10^{(n^n)}-(int)(logn^n))$ ,其中$k$表示$n^n$的位数。

4.最右数字

描述
 给定一个正整数N，您应该输出N^N的最右数字
输入
输入包含几个测试用例。输入的第一行是一个整数T，它是测试用例的数量。接下来是T个测试案例。每个测试用例都包含一个正整数N（1<=N<=1000000000）。
输出
对于每个测试用例，您应该输出N^N的最右边数字。
样本输入
2.
3.
4.
样本输出
7.
6.
暗示
在第一种情况下，3*3*3=27，因此最右边的数字是7。在第二种情况下，4*4*4=256，因此最右边的数字是6。

普通解法，由于数太大超时

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int N;
        cin >> N;
        long long result = 1;
        for (int i = 0; i < N; i++) {
            result = (result * N%10) % 10;
        }
        cout << result << endl;
    }
    return 0;
}

公式

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    int a[10][4]= {{0},{1},{6,2,4,8},{1,3,9,7},{6,4},{5},{6},{1,7,9,3},{6,8,4,2},{1,9}};
    //由末尾数字与自身相乘可到到相乘的规律
    while(n--)
    {
        long long int m;
        scanf("%ld",&m);
        int d=m%10;
        if(d==0||d==1||d==5||d==6)
            printf("%dn",d);
        else if(d==4||d==9)
            printf("%dn",a[d][m%2]);
        else if(d==2||d==3||d==7||d==8)
            printf("%dn",a[d][m%4]);
    }
    return 0;
}
//另一种更加直接的方法是使用快速幂

快速幂

#include <iostream>
using namespace std;

int lastDigitOfPower(int base, int power) {
    int result = 1;
    while (power > 0) {
        if (power % 2 == 1) {
            result = (result * base) % 10;
        }
        base = (base * base) % 10;
        power /= 2;
    }
    return result;
}

int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while (T--) {
        int N;
        cin >> N;
        int lastDigit = lastDigitOfPower(N, N);
        cout << lastDigit << endl;
    }
    return 0;
}