2024美赛数学建模B题思路&源码

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本文介绍: 比赛当天第一时间更新！赛题目的：问题描述：解题的关键：

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赛题目的

赛题目的：
问题描述：
解题的关键：

问题一.

问题分析

要开发一个模型来预测潜水器随时间的位置，我们需要考虑以下几个关键因素：

海洋环境因素：当前和预测的洋流、海水密度（可能会随深度和温盐分布变化）、海底地形等因素都会影响潜水器的位置。
潜水器的物理特性：潜水器的重量、体积、形状、中性浮力的特点以及它的推进系统的性能（在正常和失效情况下）。
潜水器运动学：潜水器的初始位置和速度、操纵系统（如鳍片、螺旋桨等）的状态、以及潜水器推进系统的工作情况。
潜水器的通信和导航系统：包括定位设备（如声纳、激光、惯性导航系统等）、通信设备（如水下通信系统）。

问题解答

构建一个描述潜水器位置的数学模型涉及物理原理和数学方程。下面是一个简化的过程，包括一些基本的计算公式。

动力学方程
潜水器的运动可以由牛顿第二定律来描述：

[

⋅

]

[ F = m cdot a ]

$[F = m \cdot a]$

其中，( F ) 是作用在潜水器上的净外力，( m ) 是潜水器的质量，( a ) 是潜水器的加速度。

在水下，作用在潜水器上的净外力( F )可以分解为：

[

]

[ F = F_b + F_g + F_d + F_t + F_c ]

$[F = F_{b} + F_{g} + F_{d} + F_{t} + F_{c}]$

(

F_b

$F_{b}$ )是浮力，可由阿基米德原理给出 (

⋅

F_b = rho_{water} cdot V cdot g

$F_{b} = ρ_{w a t er} \cdot V \cdot g$ )，其中( rho_{water} )是水的密度，(

$V$ )是潜水器排水体积，(

$g$ )是重力加速度。

(

)

( F_g )

$(F_{g})$ 是重力，(

⋅

F_g = m cdot g

$F_{g} = m \cdot g$ )。
( F_d )是阻力，可以用经验公式估算 (

⋅

F_d = frac{1}{2} cdot C_d cdot rho_{water} cdot A cdot v^2

$F_{d} = \frac{1}{2} \cdot C_{d} \cdot ρ_{w a t er} \cdot A \cdot v^{2}$ )，其中(

C_d

$C_{d}$ )是阻力系数，( A )是迎流面积，( v )是潜水器相对水的速度。
(

F_t

$F_{t}$ )是潜水器推进器提供的推力，可以是时间的函数 (

(

)

F_t(t)

$F_{t} (t)$ )。
(

F_c

$F_{c}$ )是由洋流造成的力，这个力取决于潜水器的位置和洋流的速度分布。
2. 浮力平衡条件
中性浮力条件下，浮力和重力相等：

[

]

[ F_b = F_g ]

$[F_{b} = F_{g}]$

[

⋅

]

[ rho_{water} cdot V cdot g = m cdot g ]

$[ρ_{w a t er} \cdot V \cdot g = m \cdot g]$

[

⋅

]

[ rho_{water} cdot V = m ]

$[ρ_{w a t er} \cdot V = m]$

运动方程
考虑到潜水器可能会在三维空间内运动，运动方程可以表示为：

[

⋅

]

[ m cdot frac{d^2mathbf{r}}{dt^2} = mathbf{F_b} + mathbf{F_g} + mathbf{F_d} + mathbf{F_t} + mathbf{F_c} ]

$[m \cdot \frac{d ^{2} r}{d t ^{2}} = F_{b} + F_{g} + F_{d} + F_{t} + F_{c}]$

其中，(

mathbf{r}

$r$ )是潜水器的位置矢量。

数值解
对于给定的潜水器和其环境参数，这些方程通常需要使用数值方法解决。一个常见的方法是使用时间步进算法，例如欧拉法或龙格-库塔法，来迭代地计算潜水器的位置和速度。
实时更新和修正
为了实现对潜水器位置的准确预测，并考虑到可能的不确定性和变化因素，以下信息需要定期更新：
潜水器的实时位置和速度（通过潜水器的导航系统）。
环境参数，如水密度和洋流数据（可能来自附近的浮标或预测模型）。
安全通信
为了保持与主船的通信，在失去推进力的情况下，潜水器应定期向主船发送以下信息：