矩阵的分解_代码007

本文介绍: 矩阵的分解怎么计算矩阵又快又准——矩阵的分解先判断Doolittle分解是否唯一，再进行Doolittle分解各阶顺序主子式均不为0，Doolittle分解唯一；特殊的：正定/负定矩阵，Doolittle分解唯一；严格行(列)对角占优矩阵，Doolittle分解唯一；Doolittle分解的算法一共 5 种分解文章目录矩阵的分解一、Doolittle分解（三角分解或称 LR分解）【定义】Doolittle分解【定理】Doolittle分解唯一⇔各阶顺序主子式均不为0【定理】若A为正定或负

i（

⋯

i=1,2,cdots,r

$i = 1, 2, \dots, r$ ）为

$A$ 的奇异值

注：

$A^H AH 具有相同的奇异值$

若

【定义】奇异值分解

设

A

∈

C

m

×

n

Ainmathbb C^{mtimes n}

$A \in C^{m \times n}$ ，rank

A

=

r

A=r

$A = r$ ，

σ

1

≥

σ

2

≥

⋯

≥

σ

r

sigma_1geqsigma_2geqcdotsgeqsigma_r

$σ_{1} \geq σ_{2} \geq \dots \geq σ_{r}$ 为

A

A

$A$ 的奇异值，则

存在 m 阶酉矩阵

U

U

$U$ 和 n 阶酉矩阵

V

V

$V$ 使得：

U

H

A

V

=

D

=

[

Δ

0

0

0

]

m

×

n

U^HAV=D= begin{bmatrix} Delta & 0 \ 0 & 0 \ end{bmatrix}_{mtimes n}

$U^{H} A V = D = [Δ 0 00]_{m \times n}$
其中

Δ

=

d

i

a

g

(

σ

1

,

σ

2

,

⋯

,

σ

r

)

Delta=diag(sigma_1,sigma_2,cdots,sigma_r)

$Δ = d ia g (σ_{1}, σ_{2}, \dots, σ_{r})$ ，称

A

=

U

H

A

V

A=U^HAV

$A = U^{H} A V$ 为

A

A

$A$ 的奇异值分解