矩阵的分解

​i​（

i

=

1

,

2

,

⋯
 

,

r

i=1,2,cdots,r

i=1,2,⋯,r）为

A

A

A 的奇异值

注：

• $A$
• 若 $A$

【定义】奇异值分解

设

A

∈

C

m

×

n

Ainmathbb C^{mtimes n}

A∈Cm×n，rank

A

=

r

A=r

A=r，

σ

1

≥

σ

2

≥

⋯

≥

σ

r

sigma_1geqsigma_2geqcdotsgeqsigma_r

σ1​≥σ2​≥⋯≥σr​ 为

A

A

A 的奇异值，则

存在 m 阶酉矩阵

U

U

U 和 n 阶酉矩阵

V

V

V 使得：

U

H

A

V

=

D

=

[

Δ

0

0

0

]

m

×

n

U^HAV=D= begin{bmatrix} Delta & 0 \ 0 & 0 \ end{bmatrix}_{mtimes n}

UHAV=D=[Δ0​00​]m×n​
其中

Δ

=

d

i

a

g

(

σ

1

,

σ

2

,

⋯
 

,

σ

r

)

Delta=diag(sigma_1,sigma_2,cdots,sigma_r)

Δ=diag(σ1​,σ2​,⋯,σr​) ，称

A

=

U

H

A

V

A=U^HAV

A=UHAV 为

A

A

A 的奇异值分解

【算法】奇异值分解算法

代码007普通

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