用分布函数定义的随机变量的独立性的合理性

本文介绍: 由事件的独立性到随机变量的独立性，从分布函数到密度函数，直观上非常容易记忆，但是这里面其实是由细微的差异的，注意到这些细微的差异，对于构建严格的逻辑闭环，扎实数学的地基有一定作用。

随机变量的独立性是这样定义的：

如果对任意

x, y

$x, y$ 都有

{

≤

}

{

≤

}

{

≤

}

P{Xleq x,Yleq y} = P{Xleq x }P{Yleq y}

$P {X \leq x, Y \leq y} = P {X \leq x} P {Y \leq y}$
即

(

)

(

)

(

)

F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

$F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)$
则称随机变量

$X$ 与

$Y$ 相互独立。

事件A与事件B相互独立

我们知道事件相互独立的本质其实是，事件A是否发生对事件B发生的概率无影响，同时，事件B是否发生对事件A发生的概率无影响。也就是

(

)

(

∣

)

P(A) = P(A|B)

$P (A) = P (A ∣ B)$ 且

(

)

(

∣

)

P(B)=P(B|A)

$P (B) = P (B ∣ A)$ ，根据条件概率公式：

(

)

(

∣

)

(

)

(

)

P(A) = P(A|B) = frac{P(A,B)}{P(B)}

$P (A) = P (A ∣ B) = \frac{P ( A , B )}{P ( B )}$
我们可以得到：

(

)

(

)

(

)

P(A)P(B) = P(AB)

$P (A) P (B) = P (A B)$
同样

(

)

(

∣

)

P(B)=P(B|A)

$P (B) = P (B ∣ A)$ 也能得到

(

)

(

)

(

)

P(A)P(B) = P(AB)

$P (A) P (B) = P (A B)$ 。
反过来，
由

(

)

(

)

(

)

P(A)P(B)=P(AB)

$P (A) P (B) = P (A B)$
能得到：

(

)

(

)

(

)

(

∣

)

(

)

(

)

(

)

(

∣

)

P(A) = frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B) \ P(B) = frac{P(AB)}{P(A)} = P(B|A)

$P (A) = \frac{P ( A B )}{P ( B )} = P (A ∣ B) P (B) = \frac{P ( A B )}{P ( A )} = P (B ∣ A)$

所以事件的独立性的定义是：

设

A,B

$A, B$ 两事件满足等式

(

)

(

)

(

)

P(AB) = P(A)P(B)

$P (A B) = P (A) P (B)$
则称

$A$ 与

$B$ 相互独立。

随机 变量X与随机 变量Y相互独立

根据事件的独立性，我们自然而然地有随机变量

$X$ 与

$Y$ 相互独立的本质是

$X$ 与

$Y$ 的取值相互不影响，用分布函数和条件概率来解释就是：

{

≤

}

{

≤

∣

≤

}

{

≤

}

{

≤

∣

≤

}

P{Xleq x}=P{Xleq x | Yleq y}\ P{Yleq y}=P{Yleq y | Xleq x}

$P {X \leq x} = P {X \leq x ∣ Y \leq y} P {Y \leq y} = P {Y \leq y ∣ X \leq x}$
即：

{

≤

}

{

≤

∣

≤

}

{

≤

}

{

≤

}

{

≤

}

{

≤

∣

≤

}

{

≤

}

{

≤

}

P{Xleq x}=P{Xleq x | Yleq y}=frac{P{Xleq x,Yleq y}}{P{Yleq y}}\ P{Yleq y}=P{Yleq y | Xleq x}=frac{P{Xleq x,Yleq y}}{P{Xleq x}}

$P {X \leq x} = P {X \leq x ∣ Y \leq y} = \frac{P { X \leq x , Y \leq y }}{P { Y \leq y }} P {Y \leq y} = P {Y \leq y ∣ X \leq x} = \frac{P { X \leq x , Y \leq y }}{P { X \leq x }}$

我们就能得到随机变量

$X$ 与

$Y$ 相互独立的定义：

{

≤

}

{

≤

}

{

≤

}

P{Xleq x, Yleq y} = P{Xleq x}P{Yleq y}

$P {X \leq x, Y \leq y} = P {X \leq x} P {Y \leq y}$
用分布函数即：

(

)

(

)

(

)

F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)

$F (x, y) = F_{X} (x) F_{Y} (y)$

随机变量X与Y相互独立以概率分布(离散型)或者概率密度(连续型)形式的充要条件

离散型随机变量

对任意的

i,j=1,2,…

$i, j = 1, 2, \dots$ ，

{

}

{

}

{

}

P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}

$P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = P {X = x_{i}} P {Y = y_{j}}$ ，即

⋅

p_{ij}=p_{ic dot}p_{c dot j}

$p_{ij} = p_{i \cdot} p_{\cdot j}$ .

证明：

{

}

{

≤

}

−

{

≤

}

−

{

≤

}

{

}

{

≤

}

{

≤

}

−

{

}

{

≤

}

−

{

≤

}

{

}

{

}

{

}

(

{

≤

}

−

{

}

)

{

≤

}

−

(

{

≤

}

−

{

}

)

{

}

{

}

{

≤

}

−

{

}

{

}

{

}

(

{

≤

}

−

{

}

)

{

}

{

}

begin{align*} P{X= x_i, Y= y_j} &= P{Xleq x_i,Yleq y_j} – P{X< x_i,Yleq y_j}-P{Xleq x_i,Y< y_j}+P{X< x_i,Y< y_j}\ &= P{Xleq x_i}P{Yleq y_j} – P{X< x_i}P{Yleq y_j}-P{Xleq x_i}P{Y< y_j}+P{X< x_i}P{Y< y_j}\ &= (P{Xleq x_i} – P{X< x_i})P{Yleq y_j} – (P{Xleq x_i}-P{X< x_i})P{Y< y_j}\ &a mp;= P{X= x_i}P{Yleq y_j}-P{X= x_i}P{Y< y_j} \ &a mp;= P{X= x_i}(P{Yleq y_j}-P{Y< y_j})\ &a mp;= P{X=x_i}P{Y=y_j} end{align*}

$P {X = x_{i}, Y = y_{j}} = P {X \leq x_{i}, Y \leq y_{j}} - P {X < x_{i}, Y \leq y_{j}} - P {X \leq x_{i}, Y < y_{j}} + P {X < x_{i}, Y < y_{j}} = P {X \leq x_{i}} P {Y \leq y_{j}} - P {X < x_{i}} P {Y \leq y_{j}} - P {X \leq x_{i}} P {Y < y_{j}} + P {X < x_{i}} P {Y < y_{j}} = (P {X \leq x_{i}} - P {X < x_{i}}) P {Y \leq y_{j}} - (P {X \leq x_{i}} - P {X < x_{i}}) P {Y < y_{j}} = P {X = x_{i}} P {Y \leq y_{j}} - P {X = x_{i}} P {Y < y_{j}} = P {X = x_{i}} (P {Y \leq y_{j}} - P {Y < y_{j}}) = P {X = x_{i}} P {Y = y_{j}}$

连续型随机变量

对任意的

x,y

$x, y$ ，

(

)

(

)

(

)

f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)

$f (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)$ .

(

)

∫

−

∞

∫

−

∞

(

)

(

)

(

)

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

(

)

∫

−

∞

∫

−

∞

(

)

(

)

begin{align*} F(x,y)&= int_{-infty}^xint_{-infty}^yf(x,y)dxdy\ F_X(x)F_Y(y) &= int_{-infty}^xf_X(x)dxint_{-infty}^yf_Y(y)dy\ &= int_{-infty}^xint_{-infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy\ end{ali gn*}

$F (x, y) F_{X} (x) F_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f (x, y) d x d y = \int_{- \infty}^{x} f_{X} (x) d x \int_{- \infty}^{y} f_{Y} (y) d y = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f_{X} (x) f_{Y} (y) d x d y$
根据定义：