如果对任意
,
P
{
X
≤
,
Y
≤
}
=
P
{
X
≤
}
P
{
Y
≤
}
P{Xleq x,Yleq y} = P{Xleq x }P{Yleq y}
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
即
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量
X
X
X与
Y
Y
Y相互独立。
事件A与事件B相互独立
我们知道事件相互独立的本质其实是，事件A是否发生对事件B发生的概率无影响，同时，事件B是否发生对事件A发生的概率无影响。也就是
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
P(A) = P(A|B)
P(A)=P(A∣B) 且
P
(
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(B)=P(B|A)
P
(
A
)
=
P
(
A
∣
B
)
=
P
(
A
,
B
)
P
(
B
)
P(A) = P(A|B) = frac{P(A,B)}{P(B)}
P(A)=P(A∣B)=P(B)P(A,B)
我们可以得到：
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B) = P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)
同样
P
(
B
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(B)=P(B|A)
P(B)=P(B∣A)也能得到
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B) = P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)。
反过来，
由
P
(
A
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P(A)P(B)=P(AB)
P(A)P(B)=P(AB)
能得到：
P
(
A
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
∣
B
)
P
(
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
A
)
=
P
(
B
∣
A
)
P(A) = frac{P(AB)}{P(B)} = P(A|B) \ P(B) = frac{P(AB)}{P(A)} = P(B|A)
P(A)=P(B)P(AB)=P(A∣B)P(B)=P(A)P(AB)=P(B∣A)
设
A
,
B
A,B
A,B两事件满足等式
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB) = P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)
则称
A
A
A 与
B
B
B 相互独立。
随机变量X与随机变量Y相互独立
X
X
X与
Y
Y
Y相互独立的本质是
X
X
X与
Y
Y
P
{
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
∣
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
=
P
{
Y
≤
y
∣
X
≤
x
}
P{Xleq x}=P{Xleq x | Yleq y}\ P{Yleq y}=P{Yleq y | Xleq x}
P{X≤x}=P{X≤x∣Y≤y}P{Y≤y}=P{Y≤y∣X≤x}
即：
P
{
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
∣
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
P
{
Y
≤
y
}
=
P
{
Y
≤
y
∣
X
≤
x
}
=
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
P
{
X
≤
x
}
P{Xleq x}=P{Xleq x | Yleq y}=frac{P{Xleq x,Yleq y}}{P{Yleq y}}\ P{Yleq y}=P{Yleq y | Xleq x}=frac{P{Xleq x,Yleq y}}{P{Xleq x}}
P{X≤x}=P{X≤x∣Y≤y}=P{Y≤y}P{X≤x,Y≤y}P{Y≤y}=P{Y≤y∣X≤x}=P{X≤x}P{X≤x,Y≤y}
X
X
X与
Y
Y
Y相互独立的定义：
P
{
X
≤
x
,
Y
≤
y
}
=
P
{
X
≤
x
}
P
{
Y
≤
y
}
P{Xleq x, Yleq y} = P{Xleq x}P{Yleq y}
P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}
用分布函数即：
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=FX(x)FY(y)
随机变量X与Y相互独立以概率分布(离散型)或者概率密度(连续型)形式的充要条件
离散型随机变量
X
X
X 和
Y
Y
Y 相互独立的充要条件
对任意的
,
j
=
1
,
2
,
.
.
.
i,j=1,2,…
i,j=1,2,…，
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
=
P
{
X
=
x
i
}
P
{
Y
=
y
j
}
P{X=x_i,Y=y_j}=P{X=x_i}P{Y=y_j}
P{X=xi,Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}，即
i
j
=
i
⋅
p
⋅
j
pij=pi⋅p⋅j.
证明：
P
{
X
=
x
i
,
Y
=
y
j
}
=
P
{
X
≤
x
i
,
Y
≤
y
j
}
−
P
{
X
<
x
i
,
Y
≤
y
j
}
−
P
{
X
≤
x
i
,
Y
<
y
j
}
+
P
{
X
<
x
i
,
Y
<
y
j
}
=
P
{
X
≤
x
i
}
P
{
Y
≤
y
j
}
−
P
{
X
<
x
i
}
P
{
Y
≤
y
j
}
−
P
{
X
≤
x
i
}
P
{
Y
<
y
j
}
+
P
{
X
<
x
i
}
P
{
Y
<
y
j
}
=
(
P
{
X
≤
x
i
}
−
P
{
X
<
x
i
}
)
P
{
Y
≤
y
j
}
−
(
P
{
X
≤
x
i
}
−
P
{
X
<
x
i
}
)
P
{
Y
<
y
j
}
=
P
{
X
=
x
i
}
P
{
Y
≤
y
j
}
−
P
{
X
=
x
i
}
P
{
Y
<
y
j
}
=
P
{
X
=
x
i
}
(
P
{
Y
≤
y
j
}
−
P
{
Y
<
y
j
}
)
=
P
{
X
=
x
i
}
P
{
Y
=
y
j
}
begin{align*} P{X= x_i, Y= y_j} &= P{Xleq x_i,Yleq y_j} – P{X< x_i,Yleq y_j}-P{Xleq x_i,Y< y_j}+P{X< x_i,Y< y_j}\ &= P{Xleq x_i}P{Yleq y_j} – P{X< x_i}P{Yleq y_j}-P{Xleq x_i}P{Y< y_j}+P{X< x_i}P{Y< y_j}\ &= (P{Xleq x_i} – P{X< x_i})P{Yleq y_j} – (P{Xleq x_i}-P{X< x_i})P{Y< y_j}\ &= P{X= x_i}P{Yleq y_j}-P{X= x_i}P{Y< y_j} \ &= P{X= x_i}(P{Yleq y_j}-P{Y< y_j})\ &= P{X=x_i}P{Y=y_j} end{align*}
P{X=xi,Y=yj}=P{X≤xi,Y≤yj}−P{X<xi,Y≤yj}−P{X≤xi,Y<yj}+P{X<xi,Y<yj}=P{X≤xi}P{Y≤yj}−P{X<xi}P{Y≤yj}−P{X≤xi}P{Y<yj}+P{X<xi}P{Y<yj}=(P{X≤xi}−P{X<xi})P{Y≤yj}−(P{X≤xi}−P{X<xi})P{Y<yj}=P{X=xi}P{Y≤yj}−P{X=xi}P{Y<yj}=P{X=xi}(P{Y≤yj}−P{Y<yj})=P{X=xi}P{Y=yj}
连续型随机变量
X
X
X 和
Y
Y
Y 相互独立的充要条件
对任意的
x
,
y
x,y
x,y，
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
f(x,y)=fX(x)fY(y).
F
(
x
,
y
)
=
∫
−
∞
x
∫
−
∞
y
f
(
x
,
y
)
x
y
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
=
∫
−
∞
x
f
X
(
x
)
x
∫
−
∞
y
f
Y
(
y
)
y
=
∫
−
∞
x
∫
−
∞
y
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
x
y
begin{align*} F(x,y)&= int_{-infty}^xint_{-infty}^yf(x,y)dxdy\ F_X(x)F_Y(y) &= int_{-infty}^xf_X(x)dxint_{-infty}^yf_Y(y)dy\ &= int_{-infty}^xint_{-infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy\ end{align*}
F(x,y)FX(x)FY(y)=∫−∞x∫−∞yf(x,y)dxdy=∫−∞xfX(x)dx∫−∞yfY(y)dy=∫−∞x∫−∞yfX(x)fY(y)dxdy
根据定义：
F
(
x
,
y
)
=
F
X
(
x
)
F
Y
(
y
)
F(x,y)=F_X(x)F_Y(y)
F(x,y)=FX(x)FY(y)
即：
∫
−
∞
x
∫
−
∞
y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
−
∞
x
∫
−
∞
y
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
d
x
d
y
int_{-infty}^xint_{-infty}^yf(x,y)dxdy=int_{-infty}^xint_{-infty}^yf_X(x)f_Y(y)dxdy
∫−∞x∫−∞yf(x,y)dxdy=∫−∞x∫−∞yfX(x)fY(y)dxdy
可推出：
f
(
x
,
y
)
=
f
X
(
x
)
f
Y
(
y
)
f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)
f(x,y)=fX(x)fY(y)
总结
由事件的独立性到随机变量的独立性，从分布函数到密度函数，直观上非常容易记忆，但是这里面其实是由细微的差异的，注意到这些细微的差异，对于构建严格的逻辑闭环，扎实数学的地基有一定作用。
原文地址:https://blog.csdn.net/weixin_40064300/article/details/134708075
本文来自互联网用户投稿，该文观点仅代表作者本人，不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务，不拥有所有权，不承担相关法律责任。
如若转载，请注明出处：http://www.7code.cn/show_21234.html
如若内容造成侵权/违法违规/事实不符，请联系代码007邮箱：suwngjj01@126.com进行投诉反馈，一经查实，立即删除！
![[软件工具]文档页数统计工具软件pdf统计页数word统计页数ppt统计页数图文打印店快速报价工具](https://img-blog.csdnimg.cn/direct/09dfbaff3e9a47a9a551dd65fef5d482.jpeg)
