求闭包
已知关系模式R<U,F>，其中：U = {A，B，C，D，E}，
F = {AB→C，B→D，C→E，EC→B，AC→B}
求(
A
B
)
F
+
{(AB)_F^+}
(AB)F+
X
(
0
)
{X^{(0)}}
X(0)=AB；
X
(
1
)
{X^{(1)}}
X(1)=AB∪CD=ABCD；
X
(
2
)
{X^{(2)}}
X(2)=ABCD∪E=ABCDE=U
所以
(
A
B
)
F
+
{(AB)_F^+}
(AB)F+={A、B、C、D、E}
函数依赖F由以下依赖组成：{AC→PE、PG→A、B→CE、A→P、A→B、GC→A、PAB→G、AG→BG、ABCP→H}，求
(
B
G
)
F
+
{(BG)_F^+}
(BG)F+
X
(
0
)
{X^{(0)}}
X(0)=BG；
X
(
1
)
{X^{(1)}}
X(1)=BG∪CE=BGCE；
X
(
2
)
{X^{(2)}}
X(2)=BGCE∪A=BGCEA；
X
(
3
)
{X^{(3)}}
X(3)=BGCEA∪PE=ABCEGP=U
所以
(
B
G
)
F
+
{(BG)_F^+}
(BG)F+={ABCEGP}
求最小函数依赖集
步骤
例子
关系模式R(U，F)中，U={A，B，C，D，E，G}，F={B→D,DG→C,BD→E,AG→B,ADG→BC}；求F的最小函数依赖集。
STEP1将右边化为单一属性：
B→D，DG→C，BD→E，AG→B，ADG→B，ADG→C
STEP2去除冗余的函数依赖：
1.如果去除B→D，
(
B
)
F
+
{(B)_F^+}
(B)F+={B}不包含D，所以不能去除；
2.去除DG→C，
(
D
G
)
F
+
{(DG)_F^+}
(DG)F+={D，G}不包含C，所以不能去除；
3.去除BD→E，
(
B
D
)
F
+
{(BD)_F^+}
(BD)F+={B，D}不包含E，所以不能去除；
4.去除AG→B，
(
A
G
)
F
+
{(AG)_F^+}
(AG)F+={A，G}不包含B，所以不能去除；
5.去除ADG→B，
(
A
D
G
)
F
+
{(ADG)_F^+}
(ADG)F+={A,D,G,C,B,E}包含B，也就是说去除ADG→B之后得到的依赖集与之前的F等价，所以可以去除；
6.去除ADG→C，
(
A
D
G
)
F
+
{(ADG)_F^+}
(ADG)F+={A,D,G,C,B,E}包含C，和ADG→B类似，所以可以去除；
所以最后F={B→D，DG→C，BD→E，AG→B}
STEP3去除左边的冗余属性
1.DG→C
我们需要判断D或G是否是冗余的
-
先看D，如果D冗余，那么去掉D之后的依赖集应该与去掉之前的依赖集是等价的，则需要看F={B→D，DG→C，BD→E，AG→B}和F1={B→D，G→C，BD→E，AG→B}是否等价；
对于F1，(
G
)
F
+
{(G)_F^+}
(G)F+={G,C}；对于F，
(
G
)
F
+
{(G)_F^+}
(G)F+={G}，不等价，因此D不是冗余属性；
-
再看G，判断F={B→D，DG→C，BD→E，AG→B}和F1={B→D，D→C，BD→E，AG→B}是否等价；
对于F1，(
D
)
F
+
{(D)_F^+}
(D)F+={D,C}；对应F，
(
D
)
F
+
{(D)_F^+}
(D)F+={D}，不等价，因此D不是冗余属性；
所以DG→C已经是最简的；
2.BD→E
如果去除B，则F1和F中D的闭包分别为{D,E}和{D}，不等价，因此B不冗余；
如果去除D，则F1和F中B的闭包分别为{B,E,D}和{B,D,E}，等价，因此D是冗余的，可以去掉；
所以BD→E可以化简为B→E
3.AG→B
如果去除A，则F1和F中G的闭包分别为{G,B}和{G}，不等价，因此A不冗余；
如果去除G，则F1和F中A的闭包分别为{A,B}和{A}，不等价，G也不冗余；
所以AG→B是最简
综上，R的最小函数依赖集为F={B→D，DG→C，B→E，AG→B}
关系模式R(U，F)中，U={A，B，C，D，E}，F={A→BC，B→CE，A→B，AB→C，AC→D}；求F的最小函数依赖集。
STEP1将右边化为单一属性：
A→B，A→C，B→C，B→E，AB→C，AC→D
STEP2去除冗余的函数依赖：
1.如果去除A→B，
(
A
)
F
+
{(A)_F^+}
(A)F+={A,C,D}不包含B，所以不能去除；
2.去除A→C，
(
A
)
F
+
{(A)_F^+}
(A)F+={A,B,C,E}包含C，所以可以去除；
此时F={A→B，B→C，B→E，AB→C，AC→D}
3.去除B→C，
(
B
)
F
+
{(B)_F^+}
(B)F+={B,E}不包含C，所以不能去除；
4.去除B→E，
(
B
)
F
+
{(B)_F^+}
(B)F+={B,C}不包含E，所以不能去除；
5.去除AB→C，
(
A
B
)
F
+
{(AB)_F^+}
(AB)F+={A,B,C,D,E}包含C，所以可以去除；
此时F={A→B，B→C，B→E，AC→D}
6.去除AC→D，
(
A
C
)
F
+
{(AC)_F^+}
(AC)F+={A,B,C,E}不包含C，所以不能去除；
所以第二步之后F={A→B，B→C，B→E，AC→D}
STEP3去除左边的冗余属性
判断A或C是否冗余
如果去除A，则F1和F中C的闭包分别为{C,D}和{C}，不等价，因此A不冗余；
如果去除C，则F1和F中A的闭包分别为{A,B,C,D,E}和{A,B,C,D,E}，等价，因此C是冗余的，可以去掉；
所以最后得到最小函数依赖集为F={A→B，B→C，B→E，A→D}
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