二阶变系数线性微分方程

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本文介绍: 转换成一个以z为函数，x 自变量的一阶可分离变量方程。.这样就把欧拉方程，化成了二阶常系数非齐次微分方程。转换成一个以u为函数，x 自变量的二阶微分方程。u,其中u=u(x)是一个待定函数。是解，代入(1)中，公式恒成立，所以。阶数没有阶，再次引入新的变量。齐次线性微分方程都是有解的。设(1)有一个已经的非零解。

1、变量替换法

欧拉方程

$a_{0}x^{n}frac{d^{n}y}{d^{n}x}+a_{1}x^{n-1}frac{d^{n-1}y}{d^{n-1}x}+.......a_{n-1}xfrac{dy}{dx}+a_{n}y=f(x)$

$a_{0},a_{1},.....a_{n}$ 是常数， $f(x)$ 是已知的函数。

二阶欧拉方程

$a_{0}x^{2}frac{d^{2}y}{d^{2}x}+a_{1}xfrac{dy}{dx}+a_{3}y=f(x)$ (1)

当 $x>0$ 时，令 $x=e^{t}$ ,则 $t=lnx$

$frac{dy}{dx}=frac{dy}{dt}frac{dt}{dx}=frac{dy}{dt}frac{1}{x}$

$frac{d^{2}y}{dx^{2}}=frac{d^{2}y}{dt^{2}}frac{dt}{dx}=frac{dy}{dt}frac{1}{x}+frac{dy}{dt}frac{-1}{x^{2}}=(frac{dy}{dx}-frac{dy}{dt})frac{1}{x^{2}}$

代入（1）中，

$a_{0}frac{d^{2}y}{dt^{2}}-a_{0}frac{dy}{dt}+a_{1}frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(e^{t})$

$a_{0}frac{d^{2}y}{dt^{2}}+(a_{1}-a_{0})frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(e^{t})$ .这样就把欧拉方程，化成了二阶常系数非齐次微分方程

当x<0时，令 $x=-e^{t}$ , $t=ln(-x)=ln|x|$

$a_{0}frac{d^{2}y}{dt^{2}}-a_{0}frac{dy}{dt}+a_{1}frac{dy}{dt}+a_{2}y=f(-e^{t})$

例题

$x^{2}frac{d^{2}y}{dt^{2}}+xfrac{dy}{dt}=6lnx-frac{1}{x}$

解:令 $x=e^{t}$ ,则 $t=lnx$

代入上面的推导得

$frac{d^{2}y}{dt^{2}}=6t-e^{-t}$

$frac{dy}{dt}=3t^{2}+e^{-t}+C_{1}$

$y=t^{3}-e^{-t}+C_{1}t+C_{2}$

所以

$y=(lnx)^{3}-frac{1}{x}+C_{1}lnx+C_{2}$

2、降阶法

$frac{d^{2}y}{dt^{2}}+p(x)frac{dy}{dt}+q(x)y=0$ （1）

齐次线性微分方程都是有解的

设(1)有一个已经的非零解 $y_{1}$ ，

令y= $y_{1}$ u,其中u=u(x)是一个待定函数。

则 $y^{'}=y^{'}_{1}u+y_{1}u^{'}$

$y^{''}=y^{''}_{1}u+2y^{'}_{1}u^{'}+y_{1}u^{''}$

代入（1）

$y_{1}u^{''}+(2y^{'}_{1}+py_{1})u^{'}+(y^{''}_{1}+py^{'}_{1}+qy_{1})u=0$

因为 $y_{1}$ 是解，代入(1)中，公式恒成立，所以

$y^{''}_{1}+py^{'}_{1}+qy_{1}=0$ 成立

所以

$y_{1}u^{''}+(2y^{'}_{1}+py_{1})u^{'}=0$

转换成一个以u为函数，x 自变量的二阶微分方程。

阶数没有阶，再次引入新的变量

令 $z=u^{'}$

$y_{1}frac{dz}{dx}=-(2y^{'}_{1}+py_{1})z$

转换成一个以z为函数，x 自变量的一阶可分离变量方程。

$frac{dz}{z}=-2frac{dy_{1}}{y_{1}}-pdx$

两边求积分

$ln|z|=-2ln|y_{1}|-int p(x)dx+ln|C_{2}|$

$ln|z|=ln|frac{1}{y_{1}^{2}}|-lne^{-int p(x)dx}+ln|C_{2}|$

$z=frac{C_{2}}{y^{2}_{1}}e^{-int p(x)dx}$ z=0 也是解，即 $C_{2}=0$ 的情形

所以 $u=C_{1}+C_{2}int frac{1}{y^{2}_{1}}e^{-int p(x)dx}$

所以(1)的通解为 $y=y_{1}[C_{1}+C_{2}int frac{1}{y^{2}_{1}}e^{-int p(x)dx}]$

刘维尔公式

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二阶微分方程齐次

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