初识数据结构及复杂度

1、数据结构

        数据结构=数据+结构（描述和组织数据），Java会把一些数据结构封装起来，在java中数据结构叫做集合。

        数据结构：（data structer）是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

        Q：数据库与数据结构的关系？

        A:数据库一般用来存数据，我们需要了解数据库底层如何存储数据，同时数据库底层也使用了数据结构。

        Q:什么是算法？

        A：算法(Algorithm):就是定义良好的计算过程，通过取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

2. 时间复杂度

        时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个数学函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。        

2.1 算法效率

        算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作 空间复杂度。

        时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。

2.1 大O的渐进表示法

        我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法。

        大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号，以下内容为大o渐进表示法的操作。

        1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

        2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

        3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

即我们将算出的基本语句修改如下：

—————->

        F(N)=N^2+2*N+10(最初)  —>F(N)=N^2+2*N+1（第一步） —>F(N)=N^2（第二步和第三部不用变，因为其系数为1） 

        同时有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

        最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

        平均情况：任意输入规模的期望运行次数

        最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

        eg：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到；最坏情况：N次找到；平均情况：N/2次找到

        在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

2.1 常见时间复杂度计算举例 

        【eg1】：

public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

         基本语句执行2N+10次，大o记为0（N）；

        【eg2】： 

 public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        }
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);

    }

        基本语句执行N+M次，大o记为0（N+M）； 

【eg3】： 

public static void main(String[] args) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count)
    }

        基本语句执行100次，大o记为0（1）；  

【eg4】： 计算冒泡法的时间复杂度

for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }

        第一波进行依次比较，若该数组的长度为N，则第一波比较N-1次，第二波比较N-2次…..一直到比较一次结束，故基本代码执行次数为：

        N-1+N-2+N-3+………+1——————–>(等差数列)

        F（N）=1/2(N^2-N)————————->O(N^2)

【eg5】： / 计算binarySearch的时间复杂度

int binarySearch(int[] array, int value) {
int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
            int mid = begin + ((end-begin) / 2);
            if (array[mid] < value)
                begin = mid + 1;
            else if (array[mid] > value)
                end = mid - 1;
            else
                return mid;
        }
        return -1;
}

        对于二分查找来说，当最后一个找到结果的时候，这是就是最坏的结果。 

        这道题原本的思想是，已知数组的长度，对数组不停地进行一半的去除，最坏的结果就是当你去除到剩最后一个的时候，发现这个数就是我们要找的数。所谓的基本语句执行次数就是你去除一半数组这个操作进行了多少次？

        我们可以反向进行思考，一直目前数组的长度为1，该数组的最终长度为N，我们通过每次对原来的数组进行*2的操作，问多少操作之后最初的数组的长度和目标数组长度一样?

        我们设操作次数为x,由此可知2^x = N，所以x=

        故此。综上所述为o（log 2 N）

【eg6】： 计算阶乘递归factorial的时间复杂度

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

        该代码时和递归函数有关，则关于递归函数的时间复杂度的公式如下：

         F（N）=递归的次数*每次递归代码的执行次数 

如上图所示，当N=3时，代码会一直递到N=1时开始往回归，同时每次回归之前会执行一次factorial(N-1) * N语句，将上层所缺的factorial(N-1)部分补充完整，故此我们需要递归2次，所以F(N) = N-1;——>O(N)

【eg7】：  计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度

int fibonacci(int N) {
return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

         假设N=5，树状图如下分析：

可以直观的感受出，树状图结束的点是走下交的叶子结点是F（1）和F（0）；由此可分析为下图完整所示：

        由此可发现这是一个等比数列，F（1）= F(N-(N-1)),所以最后一行为2^(N-1);

        所以F(n）=2^0+2^1+2^2+……+2^(N-1);——-(等比数列求和)—————————>

                F(n)=2^n-1————————->o(2^n)

3.空间复杂度

        空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空 间，空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也 使用大O渐进表示法。

        eg1:

for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }

        分析：上述使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1) 

          eg2:

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
}
return fibArray;
}

        分析：动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N) 

         eg3:

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}

       分析： 递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N) 

ps：本次的内容就到这里了，喜欢的话还请大家一键三连哦！！！

代码007普通

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