本文介绍: 有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包物品价值总和最大。每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是o(2^n),这里的n表示物品数量。所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化!举一个例子:背包最大重量为4,有3个物品,其重量和价值如下表物品为:问背包能背的物品最大价值是多少?1)确定dp数组以及下标的含义对于

背包问题的重中之重是01背包

01背包

有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i],得到的价值是value[i] 。件物品只能用一次,求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

每一件物品其实只有两个状态,取或者不取,所以可以使用回溯法搜索出所有的情况,那么时间复杂度就是o(2^n),这里的n表示物品数量。

所以暴力的解法是指数级别的时间复杂度。进而才需要动态规划的解法来进行优化

举一个例子:背包最大重量为4,有3个物品,其重量和价值如下表

物品为:

重量 价值
物品0 1 15
物品1 3 20
物品2 4 30

问背包能背的物品最大价值是多少?

动规五部曲

1)确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题,有一种写法, 是使用二维数组,即dp[i][j] 表示下标为[0-i]的物品里任意取放进容量为j的背包价值总和最大是多少,i代表第几个物品,j代表背包的容量,dp[i][j]代表价值

2)递推公式

对于每一个物品都有放与不放两种状态,所以又有两种情况,取这两种情况的最大值

3)dp数组初始化

根据递推公式,可知dp数组是由其左上角和正上方推导而来,所以要对其一行和第一列进行初始化

其他下标的价值由递推公式更新推导,所以其它地方初始化为任意值均可

4)遍历顺序

因为本题有两个维度,分别为物品维度和背包容量维度,所以到底是先遍历物品呢?还是先遍历背包呢?

可以分类讨论一下

遍历物品

遍历背包

5)打印dp数组

代码

int weight_bag(vector<int> weight,vector<int> value,int bagweight){
    vector<vector<int>> dp(weight.size(),vector<int>(bagweight+1,0));
    //初始化.对于物品0
    for(int j=weight[0];j<=bagweight;j++){
        dp[0][j]=value[0];
    }
    //递推(先遍历物品,再遍历背包)
    for(int i=1;i<weight.size();i++){
        for(int j=0;j<=bagweight;j++){
            if(j<weight[i]) dp[i][j]=dp[i-1][j];//如果当前物品重量比背包容量大,则装不下该物品
            //如果当前物品重量比背包容量小,那么可以有两种选择,装下该物品,或是不装该物品
            else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    return dp[weight.size()-1][bagweight];
}

01背包(滚动数组)

dp[i – 1]这一层拷贝到dp[i]上,只用一个一维数组dp[j],可以理解是一个滚动数组。

滚动数组需要满足的条件是上一层可以重复利用,直接拷贝到当前层,一直处于一种刷新的状态

动规五部曲

1)确定dp数组的定义

在一维dp数组中,dp[j]表示:容量为j的背包,所背的物品价值可以最大为dp[j]。

2)一维dp数组的递推公式

dp[j]有两个选择,一个是不放物品i,取自己dp[j] 相当于 二维dp数组中的dp[i-1][j];一个是放物品i,取dp[j – weight[i]] + value[i],取二者当中的最大值

dp[j] = max(dp[j], dp[j - weight[i]] + value[i]);

3)一维dp数组的初始化

dp[0]就应该是0,因为背包容量为0所背的物品的最大价值就是0。

除了下标0的位置,初始为0,其他下标应该初始化多少呢?

根据递推公式,dp数组在推导的时候一定是取价值最大的数,那么非0下标都初始化为0就可以了,这样才能让dp数组在递归公式的过程中取的最大的价值,而不是被初始值覆盖

4)一维dp数组的遍历顺序

一维dp遍历的时候,背包是从大到小,注意一定要是倒序遍历

倒序遍历是为了保证物品i只被放入一次!。但如果一旦正序遍历了,那么物品0就会被重复加入多次!

因为根据递推公式,每个物品只放一次,在遍历物品的时候,变动j时,每次都要刷新dp[j]

dp[1]=dp[1-weight[0]]+value[0]=dp[0]+15=0+15=15

dp[2]=dp[2-weight[0]]+value[0]=dp[1]+value[0]=15+15=30,这里物品0会放入两次,因为前面刷新了dp[1],初始值会被修改,连带着后面的dp[2]会受到波及!!!!

为什么二维dp数组遍历的时候不用倒序呢?

因为对于二维dp,dp[i][j]都是通过上一层即dp[i – 1][j]计算而来,本层的dp[i][j]并不会被覆盖!,因为是二维数组,没有动态刷新,所以一旦求出数值,便会一直在那保持不变

两个嵌套for循环顺序代码中是先遍历物品嵌套遍历背包容量,那可不可以先遍历背包容量嵌套遍历物品呢?

不可以!因为一维dp的写法,背包容量一定是要倒序遍历(原因上面已经写了),如果遍历背包容量放在上一层,那么每个dp[j]就只会放入一个物品,即:背包里只放入了一个物品。

因为是每次只对一个背包容量进行求解,

dp[4]=dp[4-1]+value[0]=15

dp[4]=max(15,dp[4-3]+value[1])=max(15,20)=20

dp[4]=max(10,dp[4-4]+value(2))=max(20,30)=30

dp[3]=dp[3-1]+value(0)=value(0)=15

……..

如上,因为是倒序遍历和初始化的存在,针对每个背包容量,每次都只放进了一个物品,不能将两个或多个物品的情况考虑在内


dp[4]=dp[4-1]+value[0]=15

dp[3]=max(dp[3],dp[3-1]+value[0])=15

dp[2]=max(dp[2],dp[2-1]+value[0])=15

dp[1]=max(dp[1],dp[1-1]+value[0])=15

dp[4]=max(dp[4],dp[4-3]+value[1])=max(15,15+20)=35

………

如上,每个背包的容量随着物品的变动与前面每一个物品的情况结合起来,这才是正解

倒序遍历的原因是,本质上还是一个对二维数组的遍历,并且右下角的值依赖上一层左上角的值,因此需要保证左边的值仍然是上一层的,从右向左覆盖

倾向于使用一维dp数组的写法比较直观简洁,而且空间复杂度还降了一个数量级

代码

int  weightvalue(int bagweight,vector<int>weight,vector<int>value){
 //初始化dp数组
    vector<int> dp(bagweight+1,0);
    //递推
    for(int i=0;i<weight.size();i++){
        for(int j=bagweight;j>=weight[i];j--){
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
        }
    }
    return dp[bagweight];
}

背包问题应用1

题目:416分割等和子集

题目链接分割等和子集

题目的理解

非空数组由正整数组成,是否可以将这个数组分割成两个子集,使得两个子集的元素和相等

问题具象化:只要找到集合里能够出现 sum / 2 的子集总和,就算是可以分割成两个相同元素和子集了。

集合中的元素只能使用一次,因此使用的是01背包

只有确定了如下四点,才能把01背包问题套到本题上来。

  • 背包的容量为sum / 2
  • 背包要放入的商品(集合里的元素重量为nums[i],价值也为nums[i]
  • 背包如果正好装满,说明找到了总和为 sum / 2 的子集。
  • 背包中每一个元素是不可重复放入

动规五部曲

1)确定dp数组含义及下标

dp[j]:容量为j的背包所背的最大价值为dp[j]

集合中的每个元素既是重量也是价值   dp[target]==target 背包装满 其中target=sum/2

2)递推公式

背包的递推公式:dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])

所以本题的递推公式:dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i])

3)dp数组初始化

dp[0]=0   ,非零下标进行初始化,dp[i]=0,根据递推公式,不能初始化别的值,初始化为非负整数最小值,即0,这样才能让dp数组在递推的过程中取得最大的价值,而不是被初始值覆盖

4)遍历顺序

遍历顺序正序遍历物品,后倒序遍历背包容量

for(i=0;i<nums.size(i++)){

     for(j=target;j>=nums[i];j–)}

5)打印dp数组

代码

class Solution {
public:
    bool canPartition(vector<int>&amp; nums) {
        vector<int> dp(10001,0);//定义dp数组,并将其初始化为0,因为数组中的元素最大是100,且至少有200个数那么最大的重量为200*100=20000,背包中只有一半容量就可以了
        int sum = 0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            sum += nums[i];
        }
        if(sum % 2==1) return false;//如果和的一半是奇数,那么不可能有两个子集和相等
        int target = sum/2;
        //递推公式
        //先正序遍历物品,后倒序遍历背包
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            for(int j=target;j>=nums[i];j--){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-nums[i]]+nums[i]);
            }
        }
        if(dp[target]==target) return true;
        return false;
    }
};

  • 时间复杂度:O(n^2)
  • 空间复杂度:O(n),虽然dp数组大小为一个常数,但是大常数

原文地址:https://blog.csdn.net/qq_43773652/article/details/134613893

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