【矩阵论】Chapter 4—特征值和特征向量知识点总结复习

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满足齐次线性方程组

(

−

)

(lambda I-A)x=0

$(λ I - A) x = 0$ 。

因为

≠

alpha n eq 0

$α \neq = 0$ ，则

≠

x n eq 0

$x \neq = 0$ ，即齐次线性方程组

(

−

)

(lambda I-A)x=0

$(λ I - A) x = 0$ 有非零解。有非零解的充要条件是它的系数矩阵它的系数矩阵行列式

∣

−

∣

|lambda I-A|=0

$∣ λ I - A ∣ = 0$ 。

2 对角化

定义

设矩阵

A

∈

F

n

×

n

Ain F^{ntimes n}

$A \in F^{n \times n}$ ，如果存在一个非奇异矩阵

P

∈

F

n

×

n

Pin F^{ntimes n}

$P \in F^{n \times n}$ 和一个对角矩阵

D

∈

F

n

×

n

Din F^{ntimes n}

$D \in F^{n \times n}$ ，使得

P

−

1

A

P

=

D

P^{-1}AP=D

$P^{- 1} A P = D$ ，则称

A

A

$A$ 可被对角化。
定理
2. $lambda_1,cdots,lambda_k λ1,⋯,λk是 A A A的不同的特征值，则对应的特征向量 x 1 , ⋯ , x k x_1,cdots,x_k x1,⋯,xk它们是线性无关的$
3. 由以上两条定理即可推出如果
4. 不同特征值对应的特征向量的集合的并集是线性无关的。即取每个特征值的所有特征向量，无论这些向量属于哪个特征值，它们的并集都是线性无关的。
代数重数

设

A

∈

F

n

×

n

Ain F^{ntime s n}

$A \in F^{n \times n}$ ，如果

det

⁡

(

λ

I

−

A

)

=

(

λ

−

λ

i

)

r

1

⋯

(

λ

−

λ

k

)

r

k

det(lambda I-A)=(lambda -lambda_i)^{r_1}cdot s(lambda-lambda_k)^{r_k}

$det (λ I - A) = (λ - λ_{i})^{r_{1}} \dots (λ - λ_{k})^{r_{k}}$ ，其中

λ

1

,

⋯

,

λ

k

lambda_1,cdot s,lambda_k

$λ_{1}, \dots, λ_{k}$ 是

A

A

$A$ 的特征值，它们是不同的。则特征值

λ

i

lambda_i

$λ_{i}$ 的代数重数是

r

i

r_i

$r_{i}$ ，即特征值

λ

i

lambda_i

$λ_{i}$ 出现的次数。
几何重数

与特征值

λ

i

lambda_i

$λ_{i}$ 对应的特征子空间是

N

(

λ

i

I

−

A

)

N(lambda_i I-A)

$N (λ_{i} I - A)$ ，则特征值

λ

i

lambda_i

$λ_{i}$ 的几何重数为

dim

⁡

(

N

(

λ

i

I

−

A

)

)

dim(N(lambda_i I-A))

$dim (N (λ_{i} I - A))$ 。

几何重数$leq $代数重数
几何重数看可对角化

矩阵

A

∈

F

n

×

n

Ain F^{ntime s n}

$A \in F^{n \times n}$ 可对角化当且仅当

A

A

$A$ 中不同特征值的几何重数和等于

n

n

$n$ （即每个特征值的代数重数都要等于几何重数）

3 Schur定理和正规矩阵

酉（正交）相似定义

设

A

∈

C

n

×

n

(

R

n

×

n

)

Ain C^{ntime s n}(R^{ntimes n})

$A \in C^{n \times n} (R^{n \times n})$ ，如果存在一个酉（正交）矩阵

U

U

$U$ 使得

U

H

A

U

=

B

(

U

H

=

U

−

1

)

U^HAU=Bspace space space(U^H=U^{-1})

$U^{H} A U = B (U^{H} = U^{- 1})$ ，则可称

A

A

$A$ 酉（正交）相似

B

B

$B$
Schur定理

∀

A

∈

C

n

×

n

f ora ll Ain C^{ntimes n}

$\forall A \in C^{n \times n}$ ，

A

A

$A$ 都与上三角矩阵相似，且存在酉矩阵

U

U

$U$ 和上三角矩阵

T

T

$T$ 使得

U

H

A

U

=

U

−

1

A

U

=

T

U^HAU=U^{-1}AU=T

$U^{H} A U = U^{- 1} A U = T$ 。

仅适用于复数域，实数域上不一定适用
正规矩阵定义

设

A

∈

C

n

×

n

Ain C^{ntimes n}

$A \in C^{n \times n}$ ，如果

A

A

$A$ 满足

A

H

A

=

A

A

H

A^HA=AA^H

$A^{H} A = A A^{H}$ ，则称

A

A

$A$ 是正规矩阵。

Hermite矩阵，酉（正交）矩阵都是正规矩阵
谱定理

设

A

∈

C

n

×

n

Ain C^{ntimes n}

$A \in C^{n \times n}$ ，如果

A

A

$A$ 是Hermite矩阵，则

A

A

$A$ 酉相似于一个实对角矩阵，换句话说，Hermite矩阵的特征值都是实数。
引理

设

A

∈

C

n

×

n

Ain C^{nti mes n}

$A \in C^{n \times n}$ ，

A

A

$A$ 是正规矩阵当且仅当

∀

λ

,

x

f ora ll lambda,x

$\forall λ, x$ 使得

∣

∣

A

x

−

λ

x

∣

∣

=

∣

∣

A

H

x

−

λ

ˉ

x

∣

∣

||Ax-lambda x||=||A^Hx-bar{lambda}x||

$∣∣ A x - λ x ∣∣ = ∣∣ A^{H} x - \overset{ˉ}{λ} x ∣∣$ 。
同时对角化

设

A

,

B

A,B

$A, B$ 都是相同阶数的正规矩阵，则存在一个酉矩阵可以同时酉对角化

A

,

B

A,B

$A, B$ 当且仅当

A

B

=

B

A

AB=BA

$A B = B A$

4 Py th on 求解

import numpy as np
from sympy import symbols, Matrix
import pprint


# 定义符号变量
lambda_ = symbols('lambda')

A = np.array([[0, 2, 1], [-2, 0, 3], [-1, -3, 0]])
A = Matrix(A)

# 求特征矩阵
characteristic_matrix = A - lambda_ * np.eye(3)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征矩阵:")
pprint.pprint(characteristic_matrix)

# 计算特征多项式
characteristic_polynomial = A.charpoly(lambda_)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征多项式:")
pprint.pprint(characteristic_polynomial)

# 求特征值
eigenvalues = A.eigenvals()
# 打印特征值、其代数重数、特征向量和几何重数

for k, v in eigenvalues.items():
    pprint.pprint("特征值 %s 的代数重数为 %s" % (k, v))
    pprint.pprint("特征值 %s 的几何重数为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][1]))
    pprint.pprint("特征值 %s 的特征向量为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][2]))
    
# 判断A是否可对角化，如果可以，打印出对角化矩阵
if A.is_diagonalizable():
    pprint.pprint("A可对角化")
    pprint.pprint("对角化矩阵为:")
    pprint.pprint(A.diagonalize()[0])

# 求A的行空间、列空间、零空间
pprint.pprint("A的行空间为:")
pprint.pprint(A.rowspace())
pprint.pprint("A的列空间为:")
pprint.pprint(A.columnspace())
pprint.pprint("A的零空间为:")
pprint.pprint(A.nullspace())