【矩阵论】Chapter 4—特征值和特征向量知识点总结复习

本文介绍: 【矩阵论】Cha pte r 4—特征值和特征向量知识点总结复习

满足齐次线性方程组

(

−

相关定义

设

$A$ 是数域

$F$ 上的

$n$ 阶矩阵，

lambda

$λ$ 是一个符号，也是未知的特征值，矩阵

−

la mb da I-A

$λ I - A$ 称为

$A$ 的特征矩阵，其行列式

∣

−

∣

|la mb da I-A|

$∣ λ I - A ∣$ 称为

$A$ 的特征多项式。方程

∣

−

∣

|la mb da I-A|=0

$∣ λ I - A ∣ = 0$ 称为

$A$ 的特征方程，它的根（即

lamb da

$λ$ 的值）称为

$A$ 的特征根（或特征值）。以

$A$ 的特征值

lam bda

$λ$ 代入

Ax=lam bda x

$A x = λ x$ 中所得到的非零解

$x$ 称为

$A$ 对应于

lam bda

$λ$ 的特征向量。

定理

设

$A$ 为

ntimes n

$n \times n$ 矩阵，

lam bda

$λ$ 是一个数值，以下命题等价：

特征多项式的系数

如果

(

)

de t

⁡

(

−

)

∑

(

−

)

−

⋯

(

−

)

−

(

−

)

p(lamb da)=de t(lamb da I-A)=lamb da^n+sum _{\k=1}^n(-1)^k c _klamb da^{n-k}\=lamb da ^n-c _1lamb da^{n-1}+c dots+(-1)^{n-1}c _{n-1}lambda+(-1)^nc _n

$p (λ) = de t (λ I - A) = λ^{n} + k = 1 \sum n (- 1)^{k} c_{k} λ^{n - k} = λ^{n} - c_{1} λ^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n - 1} c_{n - 1} λ + (- 1)^{n} c_{n}$
则

(

≤

)

c_k(1leq kleq n)

$c_{k} (1 \leq k \leq n)$ 是所有

$k$ 阶主子式（选择

$k$ 行

$k$ 列形成的行列式）的和，特别的，

(

)

det

⁡

(

)

c_1=tr(A),c_n=det(A)

$c_{1} = t r (A), c_{n} = det (A)$ 。

定理

设

A

∈

C

n

×

n

Ain C^{ntimes n}

$A \in C^{n \times n}$ ，如果

A

A

$A$ 有特征值

λ

1

,

⋯

,

λ

n

lambda_1,cdots,lambda_n

$λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ，则

t

r

(

A

)

=

∑

i

=

1

n

λ

i

,

det

⁡

(

A

)

=

∏

i

=

1

n

λ

i

tr(A)=sum_{\i=1}^nlambda_i,det(A)=prod_{i=1}^nlambda_i

$t r (A) = i = 1 \sum n λ_{i}, det (A) = i = 1 \prod n λ_{i}$
如果

A

A

$A$ 相似

B

B

$B$ ，则两个矩阵有相同的特征值和特征多项式。
设

A

∈

C

m

×

n

Ain C^{mtimes n}

$A \in C^{m \times n}$ ，则

A

H

A

A^HA

$A^{H} A$ 和

A

A

H

AA^H

$A A^{H}$ 特征值都是非负实数，且它们都有相同的非零特征值和相同的重数，并且非零特征值（包含重数）的数量等于 $KaTeX parse error : Un defined control seq ue n ce : rank at position 1: ̲r̲a̲n̲k̲(A)$ 。

import numpy as np
from sympy import symbols, Matrix
import pprint


# 定义符号变量
lambda_ = symbols('lambda')

A = np.array([[0, 2, 1], [-2, 0, 3], [-1, -3, 0]])
A = Matrix(A)

# 求特征矩阵
characteristic_matrix = A - lambda_ * np.eye(3)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征矩阵:")
pprint.pprint(characteristic_matrix)

# 计算特征多项式
characteristic_polynomial = A.charpoly(lambda_)
pprint.pprint("关于 lambda 的特征多项式:")
pprint.pprint(characteristic_polynomial)

# 求特征值
eigenvalues = A.eigenvals()
# 打印特征值、其代数重数、特征向量和几何重数

for k, v in eigenvalues.items():
    pprint.pprint("特征值 %s 的代数重数为 %s" % (k, v))
    pprint.pprint("特征值 %s 的几何重数为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][1]))
    pprint.pprint("特征值 %s 的特征向量为 %s" % (k, A.eigenvects()[list(eigenvalues.keys()).index(k)][2]))
    
# 判断A是否可对角化，如果可以，打印出对角化矩阵
if A.is_diagonalizable():
    pprint.pprint("A可对角化")
    pprint.pprint("对角化矩阵为:")
    pprint.pprint(A.diagonalize()[0])

# 求A的行空间、列空间、零空间
pprint.pprint("A的行空间为:")
pprint.pprint(A.rowspace())
pprint.pprint("A的列空间为:")
pprint.pprint(A.columnspace())
pprint.pprint("A的零空间为:")
pprint.pprint(A.nullspace())