代数学笔记6: 群同态基本定理,循环群结构定理

本文介绍: ρG1⋅→G2∘g↦ρg∀g1g2∈G, 有ρg1⋅g2ρg1∘ρg2成立, 则称ρ为群同态(映射).

群同态

(

⋅

)

→

(

∘

)

↦

(

)

rho:G_1( ,cdot)t o G_2( ,ci rc)\ qquad gmaps t o rho(g)

$ρ : G_{1} (, \cdot) \to G_{2} (, \circ) g \mapsto ρ (g)$

∀

∈

f ora ll g_1,g_2in G

$\forall g_{1}, g_{2} \in G$ , 有

(

⋅

)

(

)

∘

(

)

rho(g_1cdot g_2)=r h o(g_1)ci rc r h o(g_2)

$ρ (g_{1} \cdot g_{2}) = ρ (g_{1}) \circ ρ (g_{2})$ 成立, 则称

rho

$ρ$ 为群同态(映射).

截屏2021-11-29 上午12.09.46

群同态基本 定理

设

rho

$ρ$ 为一个

G_1

$G_{1}$ 到

G_2

$G_{2}$ 的群同态, 则

Ker

text{Ker}rho

$K er ρ$ 是

$G$ 一个正规子群且

Ker

≅

G/text{Ker}r hoc ong text{Im}rho.

$G / K er ρ ≅ I m ρ .$

第二同构 定理

H<G

$H &l t; G$ ,

⊴

Nu nlhd G

$N ⊴ G$ , 则

HN<G

$H N < G$ ,

∩

⊴

Hcap Nu nlhd H

$H \cap N ⊴ H$ , 且

∩

⟶

(

∩

)

⟼

begin{align ed} rho: H/Hcap N&long rightarrow HN/N\ h(Hcap N)&long mapsto hN end{align ed}

$ρ : H / H \cap N h (H \cap N) ⟶ H N / N ⟼ h N$
是一个同构.

证明:
只需证明:

ρ

~

:

H

⟶

H

N

/

N

h

⟼

h

N

begin{align ed} tilderho: H&lo ngrightarrow HN/N\ h&lo ngmapsto hN end{align ed}

$\tilde{ρ} : H h ⟶ H N / N ⟼ h N$

ρ

~

tilderho

$\tilde{ρ}$ 为满同态, 且

Ker

ρ

~

=

H

∩

N

text{Ker}tilderho=Hca p N

$K e r \tilde{ρ} = H \cap N$ .

先证明

H

N

<

G

HN<G

$H N < G$ , 直接验证集合非空, 满足运算封闭以及有逆元即可.
只需证明

H

N

=

N

H

HN=NH

$H N = N H$ ,

(

h

n

)

−

1

=

n

−

1

h

−

1

∈

N

H

=

H

N

(hn)^{-1}=n^{-1}h^{-1}in NH=HN

$(hn)^{- 1} = n^{- 1} h^{- 1} \in N H = H N$ , 于是

N

⊴

H

N

Nunlhd HN

$N ⊴ H N$ , 即

H

N

/

N

HN/N

$H N / N$ 满足.

H

∩

N

⊴

H

Hca p Nunlhd H

$H \cap N ⊴ H$ ,

⟺

∀

h

∈

H

,

h

(

H

∩

N

)

h

−

1

=

H

∩

N

i ff fora ll hin H, h(Hca p N)h^{-1}=Hca p N

$⟺ \forall h \in H, h (H \cap N) h^{- 1} = H \cap N$ , 因为:

(

h

H

h

−

1

)

∩

(

h

N

h

−

1

)

=

H

∩

N

(hHh^{-1})c ap(hNh^{-1})=Hc ap N

$(h H h^{- 1}) \cap (h N h^{- 1}) = H \cap N$

满同态直接进行运算验证即可.

利用群同态基本定理得到

Ker

ρ

~

=

H

∩

N

text{Ker}ti lderho=Hc ap N

$Ker \tilde{ρ} = H \cap N$ .