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本文介绍: 概率密度函数（PDF）是一个描述连续随机变量取特定值的相对可能性的函数。exp用于计算概率的指数部分，确保了大多数数据点都集中在平均值附近，而远离均值的数据点则呈指数级减少，就是让曲线呈“钟形曲线（高斯分布）”。它的作用是确保概率密度函数（PDF）的积分——也就是函数下整个面积等于1。在数学上，这意味着对于连续概率分布，确保所有概率值的总和为1。均值决定了分布的中心位置，而方差（标准差的平方）决定了分布的离散程度。是一个重要的数学常数（自然对数的底数），约等于2.71828，而exp是。

​1​：这是正态分布概率密度函数的前缀，其中

σ

2

sigma^2

σ2是方差。它的作用是确保概率密度函数（PDF）的积分——也就是函数下整个面积等于1。在数学上，这意味着对于连续概率分布，确保所有概率值的总和为1。

exp：

e

e

e是一个重要的数学常数（自然对数的底数），约等于2.71828，而exp是

e

e

e的幂。exp用于计算概率的指数部分，确保了大多数数据点都集中在平均值附近，而远离均值的数据点则呈指数级减少，就是让曲线呈“钟形曲线（高斯分布）”。

−

(

ϵ

(

i

)

)

2

2

σ

2

–frac{(epsilon^{(i)})^2}{2sigma^2}

−2σ2(ϵ(i))2​：这是exp指数函数内的幂，代表了

ϵ

(

i

)

epsilon^{(i)}

ϵ(i)偏离均值0的程度。

  1. 由于我们假设误差项

    ϵ

    epsilon

    ϵ均值为0，所以这里直接用

    ϵ

    (

    i

    )

    epsilon^{(i)}

    ϵ(i)。这个比例的平方表示了误差项的值距离均值（0）的距离的平方，然后除以

    2

    σ

    2

    {2sigma^2}

    2σ2来“标准化”这个距离。在正态分布中，这个距离的平方越大，观测到该误差的概率就越低。

  2. 这个过程与误差项

    ϵ

    (

    i

    )

    epsilon^{(i)}

    ϵ(i)的值(第

    i

    i

    i个数据点的误差项)的平方成正比，这里的平方是必要的，因为我们对误差的大小感兴趣，而不管它是正的还是负的。平方确保了所有的误差值都是非负的，且更大的误差（无论正负）都会产生更大的平方值。

  3. 与方差

    σ

    2

    {sigma^2}

    σ2的两倍成反比，这里

    σ

    2

    {sigma^2}

    σ2表示整个数据集中的误差项的分布宽度。方差的两倍是概率密度函数的标准组成部分，用于“标准化”误差项的平方，这样不同的分布（具有不同的方差）就可以使用相同的函数形式。这里的乘以

    1

    2

    σ

    2

    frac{1}{2sigma^2}

    2σ21​类似于计算出“相对”值而不是“绝对”值，在不改变误差项的方向的情况下，调整它的相对重要性。主要作用是：由于不同的数据集可能有不同的方差（即不同的误差分布宽度），我们需要有一种方式来标准化这些误差，使它们可以在统一的尺度上比较。

  4. −

    1

    2

    σ

    2

    –frac{1}{2sigma^2}

    −2σ21​：这个负号和分母

    2

    σ

    2

    {2sigma^2}

    2σ2一起工作，形成一个比例因子，表示一个衰减的过程，它反映了误差项

    ϵ

    (

    i

    )

    epsilon^{(i)}

    ϵ(i)相对于方差的大小。由于是负指数，误差项的平方越大，

    e

    e

    e的幂就越小，从而降低了该误差值的概率密度。

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