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本文介绍: 本文介绍了矩阵代数（特征值、广义特征值、酋矩阵、奇异值、托普利兹矩阵、汉克尔矩阵、范德蒙矩阵、）的相关知识及其MATLAB的计算，希望对大家有所帮助。

矩阵代数的相关知识

目录

一、特征值与特征向量

1、特征值与特征向量

2、MATLAB计算

二、广义特征值与广义特征向量

1、广义特征值与广义特征向量

提示：以下是本篇文章正文内容，写文章实属不易，希望能帮助到各位，转载请附上链接。

令textbf{A}in mathbb{C}^{ntimes n},textbf{e}in mathbb{C}^{n},若标量lambda和非零向量textbf{e}满足方程

textbf{Ae}=lambda textbf{e},textbf{e}neq 0

则称lambda是矩阵textbf{A}的特征值，textbf{e}是与lambda对应的特征向量。特征值可能为零，但特征向量一定非零。特征值与特征向量总是成对出现，称(lambda ,textbf{e})为矩阵textbf{A}的特征对。

%% 特征值与特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
[V,D]=eig(A) %V的每一列是特征向量，D的对角元素是特征值
A*V(:,1)
-1*V(:,1)

令textbf{A},textbf{B}in mathbb{C}^{ntimes n},textbf{e}in mathbb{C}^{n},若标量lambda和非零向量textbf{e}满足方程

textbf{Ae}=lambda textbf{B}textbf{e},textbf{e}neq 0

则称lambda是矩阵textbf{A}相对于矩阵textbf{B}的广义特征值，textbf{e}是与lambda对应的广义特征向量。特别的，当矩阵textbf{B}为单位阵时，就成了普通的特征值问题。

2、MATLAB计算

%% 广义特征值与广义特征向量
A=[1 2 4;0 2 0;2 -1 3];
B=[2 -1 1;0 3 -1;2 1 3];
[V,D]=eig(A,B) %V的每一列是广义特征向量，D的对角元素是广义特征值
A*V(:,1)
-1.3011*B*V(:,1)

若textbf{A}in mathbb{C}^{ntimes n},如果textbf{AA}^{H}=textbf{A}^{H}textbf{A}=textbf{I}，其中’H‘表示共轭转置，textbf{I}表示单位矩阵，则称矩阵textbf{A}为酋矩阵。  对于酋矩阵，textbf{A}^{H}=textbf{A}^{-1}。

2、MATLAB计算

%% 酋矩阵验证
A=[(-1-1i)/2 (-1-1i)/2;(1+1i)/2 (-1-1i)/2]
inv_A=inv(A)
A*A'

对于复矩阵textbf{A}_{mtimes n}，称textbf{A}^{H}textbf{A}的n个特征根的算术根sigma _{i}=sqrt{lambda _{i}}(i=1,2,...,n)为它的奇异值。记矩阵textbf{A}的奇异值矩阵为

sum_{mtimes n} =begin{pmatrix} sigma _{1}& & & & & \ & ... & & & & \ & & sigma _{r}& & & \ & & & 0 & & \ & & & & ... & \ & & & & & 0 end{pmatrix}

其中，sigma _{1},sigma _{2},...,sigma _{r}是矩阵textbf{A}的全部非零奇异值。

奇异值分解定理：对于mtimes n维矩阵textbf{A}，分别存在一个mtimes m维酋矩阵textbf{U}和一个ntimes n维酋矩阵textbf{V}，使得

textbf{A}=textbf{U}sum textbf{V}^{H}

2、MATLAB计算

%% 矩阵奇异值分解验证
A=[2+i 1-i 2+i;2-i 3+i 2+i]
[U S V]=svd(A) %计算矩阵A的奇异值矩阵S和两个酋矩阵U和V
U*S*V'   %验证分解是否正确
U*U'     %验证U是否为酋矩阵
V*V'     %验证V是否为酋矩阵

定义：由2n-1个元素构成的n阶矩阵

textbf{A}=begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} & cdots &a_{-n+1} \ a_{1} & a_{0} & a_{-1} &cdots& a_{-n+2} \ a_{2} & a_{1}& a_{0} &cdots & a_{-n+3} \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n-1}& a_{n-2} & a_{n-3}& cdots & a_{0} end{bmatrix}

称为Toeplitz矩阵，简称为T矩阵。

例如，当n=4时，由a_{3},a_{2},a_{1},a_{0},a_{-1},a_{-2},a_{-3}这7个元素构成的4阶矩阵为

textbf{A}_{4times 4}=begin{bmatrix} a_{0} & a_{-1} & a_{-2} &a_{-3} \ a_{1} & a_{0} & a_{-1} &a_{-2} \ a_{2} & a_{1}& a_{0} & a_{-1} \ a_{3}& a_{2} & a_{1} & a_{0} end{bmatrix}

T矩阵也可简记为

A=(a_{-j+i})_{1}^{n}

其中，i,j=1,2,cdots ,n。T矩阵完全由第一行和第一列的2n-1个元素确定。可见，T矩阵中位于任意一条平行于主对角线的元素全都是相等的，且关于副对角线对称。

2、MATLAB计算

%% 创建一个托普利兹矩阵
n=[1 2 3 4]; 
A=toeplitz(n)  %用向量n创建一个对称T矩阵
m=[1 5 6 7];
B=toeplitz(m,n) %用向量n和m创建一个对称T矩阵，注意n和m的第一个元素要相同

定义：具有如下形式的n+1阶矩阵

textbf{H}=begin{bmatrix} a_{0} & a_{1} & a_{2} & cdots &a_{n} \ a_{1} & a_{2} & a_{3} &cdots& a_{n+1} \ a_{2} & a_{3}& a_{4} &cdots & a_{n+2} \ vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{n}& a_{n+1} & a_{n+2}& cdots & a_{2n} end{bmatrix}

称为Hankel矩阵。可见，Hankel矩阵完全由其第1行和第n+1列的2n+1个元素确定。其中，所有垂直于主对角的直线上有相等的元素。

2、MATLAB计算

%% 创建一个汉克尔矩阵
n=[4 3 2 1]; 
A=hankel(n)  %用向量n创建一个汉克尔矩阵，第1列元素为n，反三角以下元素为0
m=[5 6 7 4];
B=hankel(m,n) %用向量n和m创建一个汉克尔矩阵，注意m的第一个元素和n的最后一个元素要相同

定义：具有如下形式的n×n阶矩阵

textbf{V}=begin{bmatrix} 1& 1& 1&cdots &1 \ x_{1}& x_{2}& x_{3} & cdots & x_{n} \ x_{1}^{2}& x_{2}^{2}& x_{3}^{2}& cdots & x_{n}^{2} \ vdots &vdots & vdots & ddots &vdots \ x_{1}^{n-1}& x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & cdots & x_{n}^{n-1} end{bmatrix}

称为范德蒙矩阵，如果x_{i}neq x_{j}，那么V是非奇异（可逆）的。

2、MATLAB计算

%% 创建一个范德蒙矩阵
n=[1 2 3 4 5]; 
A=vander(n)  %用向量n创建一个范德蒙方阵
B=rot90(A)   %逆时针旋转90°,标准化范德蒙方阵

以上就是要讲的内容，本文介绍了矩阵代数的相关知识及其MATLAB的计算，希望对大家有所帮助。

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