神经网络 模型表示（一）

神经网络 模型表示

模型表示一

为了构建神经网络模型，我们需要首先思考大脑中的神经网络是怎样的？每一个神经元都可以被认为是一个处理单元/神经核（processing unit/Nucleus），它含有许多输入/树突（input/Dendrite），并且有一个输出/轴突（output/Axon）。神经网络是大量神经元相互链接并通过电脉冲来交流的一个网络。

下面是一组神经元的示意图，神经元利用微弱的电流进行沟通。这些弱电流也称作动作电位，其实就是一些微弱的电流。所以如果神经元想要传递一个消息，它就会就通过它的轴突，发送一段微弱电流给其他神经元，这就是轴突。

这里是一条连接到输入神经，或者连接另一个神经元树突的神经，接下来这个神经元接收这条消息，做一些计算，它有可能会反过来将在轴突上的自己的消息传给其他神经元。这就是所有人类思考的模型：我们的神经元把自己的收到的消息进行计算，并向其他神经元传递消息。这也是我们的感觉和肌肉运转的原理。如果你想活动一块肌肉，就会触发一个神经元给你的肌肉发送脉冲，并引起你的肌肉收缩。如果一些感官：比如说眼睛想要给大脑传递一个消息，那么它就像这样发送电脉冲给大脑的。

神经网络模型建立在很多神经元之上，每一个神经元又是一个个学习模型。这些神经元（也叫激活单元，activation unit）采纳一些特征作为输出，并且根据本身的模型提供一个输出。下图是一个以逻辑回归模型作为自身学习模型的神经元示例，在神经网络中，参数又可被成为权重（weight）。

我们设计出了类似于神经元的神经网络，效果如下：

其中

x

1

x_1

x1​,

x

2

x_2

x2​,

x

3

x_3

x3​是输入单元（input units），我们将原始数据输入给它们。

a

1

a_1

a1​,

a

2

a_2

a2​,

a

3

a_3

a3​是中间单元，它们负责将数据进行处理，然后呈递到下一层。
最后是输出单元，它负责计算

h

θ

(

x

)

{h_theta}left( x right)

hθ​(x)。

神经网络模型是许多逻辑单元按照不同层级组织起来的网络，每一层的输出变量都是下一层的输入变量。下图为一个3层的神经网络，第一层成为输入层（Input Layer），最后一层称为输出层（Output Layer），中间一层成为隐藏层（Hidden Layers）。我们为每一层都增加一个偏差单位（bias unit）

下面引入一些标记法来帮助描述模型：

a

i

(

j

)

a_{i}^{left( j right)}

ai(j)​ 代表第

j

j

j 层的第

i

i

i 个激活单元。

θ

(

j

)

{{theta }^{left( j right)}}

θ(j)代表从第

j

j

j 层映射到第$ j+1$ 层时的权重的矩阵，例如

θ

(

1

)

{{theta }^{left( 1 right)}}

θ(1)代表从第一层映射到第二层的权重的矩阵。其尺寸为：以第

j

+

1

j+1

j+1层的激活单元数量为行数，以第

j

j

j 层的激活单元数加一为列数的矩阵。例如：上图所示的神经网络中

θ

(

1

)

{{theta }^{left( 1 right)}}

θ(1)的尺寸为 3*4。

对于上图所示的模型，激活单元和输出分别表达为：

a

1

(

2

)

=

g

(

Θ

10

(

1

)

x

0

+

Θ

11

(

1

)

x

1

+

Θ

12

(

1

)

x

2

+

Θ

13

(

1

)

x

3

)

a_{1}^{(2)}=g(Theta _{10}^{(1)}{{x}_{0}}+Theta _{11}^{(1)}{{x}_{1}}+Theta _{12}^{(1)}{{x}_{2}}+Theta _{13}^{(1)}{{x}_{3}})

a1(2)​=g(Θ10(1)​x0​+Θ11(1)​x1​+Θ12(1)​x2​+Θ13(1)​x3​)

a

2

(

2

)

=

g

(

Θ

20

(

1

)

x

0

+

Θ

21

(

1

)

x

1

+

Θ

22

(

1

)

x

2

+

Θ

23

(

1

)

x

3

)

a_{2}^{(2)}=g(Theta _{20}^{(1)}{{x}_{0}}+Theta _{21}^{(1)}{{x}_{1}}+Theta _{22}^{(1)}{{x}_{2}}+Theta _{23}^{(1)}{{x}_{3}})

a2(2)​=g(Θ20(1)​x0​+Θ21(1)​x1​+Θ22(1)​x2​+Θ23(1)​x3​)

a

3

(

2

)

=

g

(

Θ

30

(

1

)

x

0

+

Θ

31

(

1

)

x

1

+

Θ

32

(

1

)

x

2

+

Θ

33

(

1

)

x

3

)

a_{3}^{(2)}=g(Theta _{30}^{(1)}{{x}_{0}}+Theta _{31}^{(1)}{{x}_{1}}+Theta _{32}^{(1)}{{x}_{2}}+Theta _{33}^{(1)}{{x}_{3}})

a3(2)​=g(Θ30(1)​x0​+Θ31(1)​x1​+Θ32(1)​x2​+Θ33(1)​x3​)

h

Θ

(

x

)

=

g

(

Θ

10

(

2

)

a

0

(

2

)

+

Θ

11

(

2

)

a

1

(

2

)

+

Θ

12

(

2

)

a

2

(

2

)

+

Θ

13

(

2

)

a

3

(

2

)

)

{{h}_{Theta }}(x)=g(Theta _{10}^{(2)}a_{0}^{(2)}+Theta _{11}^{(2)}a_{1}^{(2)}+Theta _{12}^{(2)}a_{2}^{(2)}+Theta _{13}^{(2)}a_{3}^{(2)})

hΘ​(x)=g(Θ10(2)​a0(2)​+Θ11(2)​a1(2)​+Θ12(2)​a2(2)​+Θ13(2)​a3(2)​)

上面进行的讨论中只是将特征矩阵中的一行（一个训练实例）喂给了神经网络，我们需要将整个训练集都喂给我们的神经网络算法来学习模型。

我们可以知道：每一个

a

a

a都是由上一层所有的

x

x

x和每一个

x

x

x所对应的决定的。

（我们把这样从左到右的算法称为前向传播算法( FORWARD PROPAGATION )）

把

x

x

x,

θ

theta

θ,

a

a

a 分别用矩阵表示：

我们可以得到

θ

⋅

X

=

a

theta cdot X=a

θ⋅X=a 。