概率论与数理统计-第五章数理统计的基础知识

本文介绍: 由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，故理论上只要对随机现象进行足够多次的观察，研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来，

第五章 数理统计的基础知识

由于大量随机现象必然呈现出它的规律性，故理论上只要对随机现象进行足够多次的观察，研究对象的规律性就一定能清楚地呈现出来，但实际上人们常常无法对所研究的对象的全体（或总体）进行观察，而只能抽取其中的部分（或样本）进行观察或试验以获得有限的数据.

在数理统计中，把研究的问题所涉及的对象的全体所组成的集合称为总体（或母体).把构成总体的每一个成员（或元素）称为个体.总体中所包含的个体的数量称为总体的容量.容量为有限的称为有限总体；容量为无限的称为无限总体.总体与个体之间的关系，即集合与元素之间的关系
 定义1：统计学中称随机变量（或向量）X为总体，并把随机变量（或向量）的分布称为总体分布

一般的方法是按一定原则从总体中抽取若干个个体进行观察，这个过程叫做抽样.显然，对每个个体的观察结果是随机的，可将其看成是一个随机变量的取值，这样就把每个个体的观察结果与一个随机变量的取值对应起来了.于是，我们可记从总体X中第i次抽取的个体指标为Xi(i=1,2,n)则Xi是一个随机变量；记x_i（i=1,2,…,n)为个体指标Xi的具体观察值，我们称X1,X2,…,Xn为总体X的 样本 ；称样本观察值x₁,x₂,…,x_n为样本值 ；样本所含个体数目称为样本容量（或样本大小）。
为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，除了对样本容量有一定的要求外还对样本的抽取方式有一定的要求，最常用的一种抽样方法称为简单随机抽样.它要求抽取的样本满足下面两个条件：
(1)代表性：X,X2,…,Xn与所考察的总体具有相同的分布；
(2)独立性：X1,X2,…,Xn,是相互独立的随机变量.
由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可用与总体同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn 表示，显然，简单随机样本是一种非常理想化的样本，在实际应用中要获得严格意义下的简单随机样本并不容易.

定义3：设X,X2,Xn为总体X的一个样本，称此样本的任一不含总体分布未知参数的函数为该样本的统计量，
例如，设总体X服从正态分布，E(X)=5,D(X)=σ²,σ²未知.X₁,X₂,X_n,为总体X的一个样本，令
Sn=X1+X2+…+Xn，
则Sn，与¯X均为样本X₁,X₂，…，X_n,的统计量.但U=nμ(¯X-5)/σ不是该样本的统计量，
因其含有总体分布中的未知参数μ，σ，

以下设X1,X2,…,Xn为总体X的一个样本.

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一节原点矩就是样本均值

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其中样本二阶中心矩

又称作未修正样本方差.
注：上述五种统计量可统称为矩统计量，简称为样本矩，它们都是样本的显函数它们的观察值仍分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本(k阶)原点矩、样本(k阶)中心矩.

小样本一般是指n<30.t分布适用于当总体标准差未知时，用样本标准差代替总体标准差，由样本平均数推断总体平均数以及两个小样本之间差异的显著性检验等

定义2设X~ N(0,1),Y~
$x$ ²(n),且X与Y相互独立，则称

服从自由度为n的t分布，记为T~t(n).t(n)分布的概率密度为
（偶函数）
由t(n)分布的概率密度为偶函数得
t_1-α(n)=-t_α(n)

定义3:设X~

x

x

$x$ ²(m),Y~

x

x

$x$ ²(n) ,且X与Y相互独立，则称

服从自由度为(m,n)的F分布，记为F~F(m,n).
F(m,n)分布的概率密度为
密度函数 f(x) 的图形见图5-2-5.
F分布具有如下性质
(1)若X~ t(n),则X²~F(1,n)
(2)若F~F(m,n),则
1/F~F(n,m).
(3)F分布的分位数：
设F~F(n,m),对给定的实数α(0<α<1),称满足条件

的数F_α(n,m)为F(n,m)分布的水平α上侧分位数，如图5-2-6所示.F分布的侧分位数可从附表6中查得
F_1-α(n,m)=1/F_α(m,n)
由P(X>F_α）=α,证
性质
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- μ_1-α=-μ_α
- t_1-α(n)=-t_α(n)
- F_1-α(n,m)=1/F_α(m,n)

定理1设总体X~N(μ,o2),X1,X2,…,Xm是取自X的一个样本，¯X为该样本的样本均值，则有
——————————————————-***重要（2）——————————————————-
定理2设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是取自X的一个样本，¯X与S²分别为该样本的样本均值与样本方差，则有
——————————————————-***重要（1）——————————————————-

(1)
定理3设总体X~N(μ,σ2),X1,X2,…,Xn是取自X的一个样本，¯X与S²分别为该样本的样本均值与样本方差，则有
——————————————————-***重要（2）——————————————————-

（1）Xi相互独立，则Xi的函数也相互独立
（2）t分布是标准正态分布/√(卡方分布/n)
由定理2（2）可以得独立

注：μ是总体均值，¯X是样本均值