矩阵理论基本知识

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5、广义逆矩阵

逆，生来就是用于解方程组的。

1. 逆：行列满秩。

2. 单边逆：左逆列满秩；右逆行满秩。

   1. 求法：高斯消元。

   2. 列满秩矩阵：Ax=b

      1. 行初等变换，可以得到左逆$A_L^{-1}$
      2. 有解的充要条件：$A{A}_L^{-1}b=b$
      3. 唯一解：$x=(A^{H}A{)}^{-1}{A}^{H}b=A_L^{-1}b$
      4. 需要注意，左逆矩阵不唯一，$(A^{H}A{)}^{-1}{A}^H$

   3. 行满秩矩阵：

      1. 列初等变换，可以得到右逆$A_R^{-1}$
      2. 行满秩矩阵一定有解，且解不唯一。自由未知数的个数为n-m
      3. $A^H(A{A}^H{)}^{-1}$
      4. 需要注意：$A^H(A{A}^H{)}^{-1}b\ne A_R^{-1}b$
      5. 行满秩矩阵的A+是A的一个右逆。

3. 广义逆：任何矩阵都存在广义逆矩阵。

   1. AGA=A 等价于 G是A的广义逆矩阵。

   2. 单边逆是广义逆的特殊情况。

   3. Ax = b有解的充要条件：rank A = rank (A b)

   4. 当A列满秩，且rank A = rank (A b) ，则有唯一解。

   5. 当A非列满秩，且有解，则有无穷多解。

   6. Gb = x , 且Ax = b，则称G是A的一个广义逆。

   7. 广义逆矩阵不唯一，零矩阵的广义逆矩阵是任意矩阵。

   8. 广义逆矩阵通常记作

      A

      −

      A^-

      A−，区别于

      A

      −

      1

      A^{-1}

      A−1

   9. 广义逆矩阵的秩 大于等于 A的秩。取等号，等价于 G具有自反性。

   10. 广义逆矩阵是逆矩阵的推广，当A是可逆矩阵的时候，A^–=A^-1

   11. 广义逆矩阵有逆矩阵类似的性质：

       性质	广义逆矩阵	逆矩阵
       定义	对于矩阵A，存在矩阵B，使得ABA=A	对于方阵A，存在矩阵B，使得AB=BA=I
       记号	$A^{-}$	$A^{-1}$
       行为	对于任意向量b，满足$A{A}^{-}$	对于任意向量b，满足$A{A}^{-1}$
       矩阵乘法	$A{A}^{-}$	AA${}^{-1}$
       矩阵的秩	rank($A^{-}A$	rank(AA${}^{-1}$
       逆的存在	广义逆存在于可逆和不可逆矩阵中	逆存在于方阵（可逆矩阵）中
       唯一性	可以有多个不同的广义逆	逆是唯一的
       幂等性	$A{A}^{-}$	$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I$
       数乘	aA的广义逆为$\frac{1}{a}{A}^{-}，a\ne 0$	aA的逆为$\frac{1}{a}{A}^{-1}，a\ne 0$
       正交投影	若$(A{A}^{-}{)}^H=A{A}^{-}$	$A{A}^{-1}=I$

4. 自反广义逆

   1. 定义：AGA=A且GAG=G。存在且不唯一。
   2. 求法：
      1. 最大秩分解法：A=BD，$A_r^{-}=D_R^{-1}{B}_L^{-1}$
      2. 构造法：X、Y是A的广义逆，则Z = XAY是自反广义逆，当然YAX也是自反广义逆。
      3. 公式法：X=(A^HA)^–A^H，Y =A^H(AA^H)^–都是自反广义逆
         1. R(A^H)=R(A^HA), N(A)=N(A^HA)
         2. 存在D，使得A^H=A^HAD
         3. 代入可证明AXA=A
         4. rank(X)<=rank(A^H)=rank(A^HA) = rank(A^HA(A^HA)^–A^HA)=rank(A^HAXA)<=rank(X)
         5. 所以X是自反广义逆
   3. A^_是自反广义逆的充要条件是rank(A)=rank(A^–)
      1. 必要性：AGA=A且GAG=G，则rank(A)=rank(AGA)<=rank(G)=rank(GAG)<=rank(A)
      2. 充分性：
         1. R(GA)属于R(G),R(GA)=R(A)=R(G)，则R(G)=R(GA)；
         2. GE=G，则存在X，GAX=G
         3. A=AGA=AGAXA=AXA
         4. 由构造法知G是自反广义逆
   4. 几何性质
      1. $R(A)\oplus N(A^H)=C^m$
      2. $R(A^H)\oplus N(A)=C^n$
      3. $R(A)\oplus N(A_r^{-})=C^m$
      4. $R(A_r^{-})\oplus N(A)=C^n$
      5. $R(A_r^{-})=R(A^H)$
      6. $N(A_r^{-})=N(A^H)$

5. MP广义逆

   1. 定义：AGA=A，GAG=G，(GA)^H=GA, (AG)^H=AG
   2. 存在且唯一
   3. 计算方法：
      1. 最大值分解法：$A^{+}=D^H(D{D}^H{)}^{-1}(B^{H}B{)}^{-1}{B}^H$
      2. 奇异值分解法：$A^{+}=V^H{D}^{+}U$
      3. 注意：最大值分解不唯一，然而最大值分解的这种乘积，即A⁺是唯一的。
   4. A+的性质：
      1. 自反性：(A+)⁺=A
      2. 唯一性：$A^{+}=(A^{H}A{)}^{+}{A}^H=A^H(A{A}^H{)}^{+}=D^H(D{D}^H{)}^{-1}(B^{H}B{)}^{-1}{B}^H$
      3. 几何性质：$R(A^{+})=R(A^H)$
      4. 正交投影性：$A{A}^{+}=P_{R(A)},A^{+}A=P_{R(A^H)}$
      5. 行列子空间相等性：R(A)=R(A^H)的充要条件是$A^{+}A=A^{+}A$
      6. $(A^{H}A{)}^{+}=A^{+}(A^H{)}^{+}=A^{+}(A{A}^H{)}^{+}A=A^H(A{A}^H{)}^{+}(A^H{)}^{+}$
      7. $A^{+}A=(A^{H}A{)}^{+}(A^{H}A)=(A^{H}A)(A^{H}A{)}^{+}$
   5. 若A是Hermite矩阵：
      1. $(A^2{)}^{+}=(A^{+}{)}^2$

6. 矩阵方程通解:

   1. AXB=D有解的充要条件：AA^–DB^–B=D
   2. 通解：X=A^–DB^–+Y-A^–AYBB^–
   3. Ax=b有解的充要条件：AA^–b=b
   4. 通解：x = A^–b +y-A^-1Ay

7. 相容方程组的最小范数解：

   1. 相容方程组：有解方程组
   2. AGA=A，(GA)^H=GA
   3. Gb=x是最小范数解

8. 不相容方程组的最小二乘解：

   1. 不相容方程组：无解方程组
   2. AGA=A,(AG)^H=AG
   3. Gb=x是最小二乘解之一，最小二乘解的通解：$x=Gb+(E-GA)b$

9. 不相容方程组的最小二乘解有时候不够好，最小二乘解的最小范数解叫最佳逼近解：

   1. 最佳逼近解：A⁺b=x
   2. 如果方程组是相容方程组，则A⁺b是最小范数解

10. 关于广义逆的运算规则

    1. $(A^{-}{)}^H=(A^H{)}^{-}$
    2. $B=SAT,B^{-}=T^{-1}{A}^{-}{S}^{-1}$
    3. $(AB{)}^{+}=B^{+}{A}^{+}$
    4. $(AB{)}^{+}=B^{+}{A}^{+}$

代码007普通

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