2024美赛数学建模思路 – 案例：感知机原理剖析及实现

# 0 赛题思路

（赛题出来以后第一时间在CSDN分享）

https://blog.csdn.net/dc_sinor?type=blog

1 感知机的直观理解

感知机应该属于机器学习算法中最简单的一种算法，其原理可以看下图：

比如说我们有一个坐标轴（图中的黑色线），横的为x1轴，竖的x2轴。图中的每一个点都是由（x1，x2）决定的。如果我们将这张图应用在判断零件是否合格上，x1表示零件长度，x2表示零件质量，坐标轴表示零件的均值长度和均值重量，并且蓝色的为合格产品，黄色为劣质产品，需要剔除。那么很显然如果零件的长度和重量都大于均值，说明这个零件是合格的。也就是在第一象限的所有蓝色点。反之如果两项都小于均值，就是劣质的，比如在第三象限的黄色点。

在预测上很简单，拿到一个新的零件，我们测出它的长度x1，质量x2，如果两项都大于均值，说明零件合格。这就是我们人的人工智能。

那么程序怎么知道长度重量都大于均值的零件就是合格的呢？
或者说

它是怎么学会这个规则的呢？
程序拿到手的是当前图里所有点的信息以及标签，也就是说它知道所有样本x的坐标为（x1， x2），同时它属于蓝色或黄色。对于目前手里的这些点，要是能找到一条直线把它们分开就好了，这样我拿到一个新的零件，知道了它的质量和重量，我就可以判断它在线的哪一侧，就可以知道它可能属于好的或坏的零件了。例如图里的黄、蓝、粉三条线，都可以完美地把当前的两种情况划分开。甚至x1坐标轴或x2坐标轴都能成为一个划分直线（这两个直线均能把所有点正确地分开）。

读者也看到了，对于图中的两堆点，我们有无数条直线可以将其划分开，事实上我们不光要能划分当前的点，当新来的点进来是，也要能很好地将其划分，所以哪条线最好呢？

怎样一条直线属于最佳的划分直线？实际上感知机无法找到一条最佳的直线，它找到的可能是图中所有画出来的线，只要能把所有的点都分开就好了。

得出结论：
如果一条直线能够不分错一个点，那就是一条好的直线
进一步来说：

如果我们把所有分错的点和直线的距离求和，让这段求和的举例最小（最好是0，这样就表示没有分错的点了），这条直线就是我们要找的。

2 感知机的数学角度

首先我们确定一下终极目标：甭管找最佳划分直线啥中间乱七八糟的步骤，反正最后生成一个函数f(x)，当我们把新的一个数据x扔进函数以后，它会预测告诉我这是蓝的还是黄的，多简单啊。所以我们不要去考虑中间过程，先把结果定了。

瞧，f(x)不是出来了嘛，sign是啥？wx+b是啥？别着急，我们再看一下sigin函数是什么。

sign好像很简单，当x大于等于0，sign输出1，否则输出-1。那么往前递归一下，wx+b如果大于等于0，f(x)就等于1，反之f(x)等于-1。

那么wx+b是啥？
它就是那条最优的直线。我们把这个公式放在二维情况下看，二维中的直线是这样定义的：y=ax+b。在二维中，w就是a，b还是b。所以wx+b是一条直线（比如说本文最开始那张图中的蓝线）。如果新的点x在蓝线左侧，那么wx+b<0,再经过sign，最后f输出-1，如果在右侧，输出1。等等，好像有点说不通，把情况等价到二维平面中，y=ax+b，只要点在x轴上方，甭管点在线的左侧右侧，最后结果都是大于0啊，这个值得正负跟线有啥关系？emmm….其实wx+b和ax+b表现直线的形式一样，但是又稍有差别。我们把最前头的图逆时针旋转45度，蓝线是不是变成x轴了？哈哈这样是不是原先蓝线的右侧变成了x轴的上方了？其实感知机在计算wx+b这条线的时候，已经在暗地里进行了转换，使得用于划分的直线变成x轴，左右侧分别为x轴的上方和下方，也就成了正和负。

那么，为啥是wx+b，而不叫ax+b？
在本文中使用零件作为例子，上文使用了长度和重量（x1，x2）来表示一个零件的属性，所以一个二维平面就足够，那么如果零件的品质和色泽也有关系呢？那就得加一个x3表示色泽，样本的属性就变成了（x1，x2，x3），变成三维了。wx+b并不是只用于二维情况，在三维这种情况下，仍然可以使用这个公式。所以wx+b与ax+b只是在二维上近似一致，实际上是不同的东西。在三维中wx+b是啥？我们想象屋子里一个角落有蓝点，一个角落有黄点，还用一条直线的话，显然是不够的，需要一个平面！所以在三维中，wx+b是一个平面！至于为什么，后文会详细说明。四维呢？emmm…好像没法描述是个什么东西可以把四维空间分开，但是对于四维来说，应该会存在一个东西像一把刀一样把四维空间切成两半。能切成两半，应该是一个对于四维来说是个平面的东西，就像对于三维来说切割它的是一个二维的平面，二维来说是一个一维的平面。总之四维中wx+b可以表示为一个相对于四维来说是个平面的东西，然后把四维空间一切为二，我们给它取名叫超平面。由此引申，在高维空间中，wx+b是一个划分超平面，这也就是它正式的名字。

正式来说：
wx+b是一个n维空间中的超平面S，其中w是超平面的法向量，b是超平面的截距，这个超平面将特征空间划分成两部分，位于两部分的点分别被分为正负两类，所以，超平面S称为分离超平面。

细节：

w是超平面的法向量：对于一个平面来说w就是这么定义的，是数学知识，可以谷歌补习一下

b是超平面的截距：可以按照二维中的ax+b理解

特征空间：也就是整个n维空间，样本的每个属性都叫一个特征，特征空间的意思是在这个空间中可以找到样本所有的属性组合

我们从最初的要求有个f(x)，引申到能只输出1和-1的sign(x)，再到现在的wx+b，看起来越来越简单了，只要能找到最合适的wx+b，就能完成感知机的搭建了。前文说过，让误分类的点距离和最大化来找这个超平面，首先我们要放出单独计算一个点与超平面之间距离的公式，这样才能将所有的点的距离公式求出来对不？

先看wx+b，在二维空间中，我们可以认为它是一条直线，同时因为做过转换，整张图旋转后wx+b是x轴，那么所有点到x轴的距离其实就是wx+b的值对不？当然了，考虑到x轴下方的点，得加上绝对值->|wx+b|，求所有误分类点的距离和，也就是求|wx+b|的总和，让它最小化。很简单啊，把w和b等比例缩小就好啦，比如说w改为0.5w，b改为0.5b，线还是那条线，但是值缩小两倍啦！你还不满意？我可以接着缩！缩到0去！所以啊，我们要加点约束，让整个式子除以w的模长。啥意思？就是w不管怎么样，要除以它的单位长度。如果我w和b等比例缩小，那||w||也会等比例缩小，值一动不动，很稳。没有除以模长之前，|wx+b|叫函数间隔，除模长之后叫几何间隔，几何间隔可以认为是物理意义上的实际长度，管你怎么放大缩小，你物理距离就那样，不可能改个数就变。在机器学习中求距离时，通常是使用几何间隔的，否则无法求出解。

对于误分类的数据，例如实际应该属于蓝色的点（线的右侧，y>0），但实际上预测出来是在左侧（wx+b<0)，那就是分错了，结果是负，这时候再加个符号，结果就是正了，再除以w的模长，就是单个误分类的点到超平面的举例。举例总和就是所有误分类的点相加。

上图最后说不考虑除以模长，就变成了函数间隔，为什么可以这么做呢？不考虑wb等比例缩小这件事了吗？上文说的是错的吗？

有一种解释是这样说的：感知机是误分类驱动的算法，它的终极目标是没有误分类的点，如果没有误分类的点，总和距离就变成了0，w和b值怎样都没用。所以几何间隔和函数间隔在感知机的应用上没有差别，为了计算简单，使用函数间隔。

以上是损失函数的正式定义，在求得划分超平面的终极目标就是让损失函数最小化，如果是0的话就相当完美了。

感知机使用梯度下降方法求得w和b的最优解，从而得到划分超平面wx+b，关于梯度下降及其中的步长受篇幅所限可以自行谷歌。

3 代码实现

#coding=utf-8
#Author:Dodo
#Date:2018-11-15
#Email:lvtengchao@pku.edu.cn
'''
数据集：Mnist
训练集数量：60000
测试集数量：10000
------------------------------
运行结果：
正确率：81.72%（二分类）
运行时长：78.6s
'''
import numpy as np
import time
def loadData(fileName):
    '''
    加载Mnist数据集
    :param fileName:要加载的数据集路径
    :return: list形式的数据集及标记
    '''
    print('start to read data')
    # 存放数据及标记的list
    dataArr = []; labelArr = []
    # 打开文件
    fr = open(fileName, 'r')
    # 将文件按行读取
    for line in fr.readlines():
        # 对每一行数据按切割福','进行切割，返回字段列表
        curLine = line.strip().split(',')
        # Mnsit有0-9是个标记，由于是二分类任务，所以将>=5的作为1，<5为-1
        if int(curLine[0]) >= 5:
            labelArr.append(1)
        else:
            labelArr.append(-1)
        #存放标记
        #[int(num) for num in curLine[1:]] -> 遍历每一行中除了以第一哥元素（标记）外将所有元素转换成int类型
        #[int(num)/255 for num in curLine[1:]] -> 将所有数据除255归一化(非必须步骤，可以不归一化)
        dataArr.append([int(num)/255 for num in curLine[1:]])
    #返回data和label
    return dataArr, labelArr
def perceptron(dataArr, labelArr, iter=50):
    '''
    感知器训练过程
    :param dataArr:训练集的数据 (list)
    :param labelArr: 训练集的标签(list)
    :param iter: 迭代次数，默认50
    :return: 训练好的w和b
    '''
    print('start to trans')
    #将数据转换成矩阵形式（在机器学习中因为通常都是向量的运算，转换称矩阵形式方便运算）
    #转换后的数据中每一个样本的向量都是横向的
    dataMat = np.mat(dataArr)
    #将标签转换成矩阵，之后转置(.T为转置)。
    #转置是因为在运算中需要单独取label中的某一个元素，如果是1xN的矩阵的话，无法用label[i]的方式读取
    #对于只有1xN的label可以不转换成矩阵，直接label[i]即可，这里转换是为了格式上的统一
    labelMat = np.mat(labelArr).T
    #获取数据矩阵的大小，为m*n
    m, n = np.shape(dataMat)
    #创建初始权重w，初始值全为0。
    #np.shape(dataMat)的返回值为m，n -> np.shape(dataMat)[1])的值即为n，与
    #样本长度保持一致
    w = np.zeros((1, np.shape(dataMat)[1]))
    #初始化偏置b为0
    b = 0
    #初始化步长，也就是梯度下降过程中的n，控制梯度下降速率
    h = 0.0001
    #进行iter次迭代计算
    for k in range(iter):
        #对于每一个样本进行梯度下降
        #李航书中在2.3.1开头部分使用的梯度下降，是全部样本都算一遍以后，统一
        #进行一次梯度下降
        #在2.3.1的后半部分可以看到（例如公式2.6 2.7），求和符号没有了，此时用
        #的是随机梯度下降，即计算一个样本就针对该样本进行一次梯度下降。
        #两者的差异各有千秋，但较为常用的是随机梯度下降。
        for i in range(m):
            #获取当前样本的向量
            xi = dataMat[i]
            #获取当前样本所对应的标签
            yi = labelMat[i]
            #判断是否是误分类样本
            #误分类样本特诊为： -yi(w*xi+b)>=0，详细可参考书中2.2.2小节
            #在书的公式中写的是>0，实际上如果=0，说明改点在超平面上，也是不正确的
            if -1 * yi * (w * xi.T + b) >= 0:
                #对于误分类样本，进行梯度下降，更新w和b
                w = w + h *  yi * xi
                b = b + h * yi
        #打印训练进度
        print('Round %d:%d training' % (k, iter))
    #返回训练完的w、b
    return w, b
def test(dataArr, labelArr, w, b):
    '''
    测试准确率
    :param dataArr:测试集
    :param labelArr: 测试集标签
    :param w: 训练获得的权重w
    :param b: 训练获得的偏置b
    :return: 正确率
    '''
    print('start to test')
    #将数据集转换为矩阵形式方便运算
    dataMat = np.mat(dataArr)
    #将label转换为矩阵并转置，详细信息参考上文perceptron中
    #对于这部分的解说
    labelMat = np.mat(labelArr).T
    #获取测试数据集矩阵的大小
    m, n = np.shape(dataMat)
    #错误样本数计数
    errorCnt = 0
    #遍历所有测试样本
    for i in range(m):
        #获得单个样本向量
        xi = dataMat[i]
        #获得该样本标记
        yi = labelMat[i]
        #获得运算结果
        result = -1 * yi * (w * xi.T + b)
        #如果-yi(w*xi+b)>=0，说明该样本被误分类，错误样本数加一
        if result >= 0: errorCnt += 1
    #正确率 = 1 - （样本分类错误数 / 样本总数）
    accruRate = 1 - (errorCnt / m)
    #返回正确率
    return accruRate
if __name__ == '__main__':
    #获取当前时间
    #在文末同样获取当前时间，两时间差即为程序运行时间
    start = time.time()
    #获取训练集及标签
    trainData, trainLabel = loadData('../Mnist/mnist_train.csv')
    #获取测试集及标签
    testData, testLabel = loadData('../Mnist/mnist_test.csv')
    #训练获得权重
    w, b = perceptron(trainData, trainLabel, iter = 30)
    #进行测试，获得正确率
    accruRate = test(testData, testLabel, w, b)
    #获取当前时间，作为结束时间
    end = time.time()
    #显示正确率
    print('accuracy rate is:', accruRate)
    #显示用时时长
    print('time span:', end - start)

4 建模资料

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