深度学习与神经网络Pytorch版 3.2 线性回归从零开始实现 1.生成数据集

本文介绍: 深度学习线性回归的原理是基于神经网络和线性回归的结合。它使用神经网络来构建一个复杂的非线性模型，同时保持线性回归的简单性和可解释性。在深度学习线性回归中，通常使用全连接神经网络（Fully Connected Neural Network）作为基础结构。输入数据经过一系列的线性变换和非线性激活函数，最终输出预测结果。与传统的线性回归不同，深度学习线性回归可以自动学习特征之间的复杂交互和组合，而不需要手动选择或设计特征。

3.2 线性回归从零开始实现

2.3 d2l.plt.scatter()函数

三，总结

一，简介

1. 原理

深度学习线性回归的原理是基于神经网络和线性回归的结合。它使用神经网络来构建一个复杂的非线性模型，同时保持线性回归的简单性和可解释性。

在深度学习线性回归中，通常使用全连接神经网络（Fully Connected Neural Network）作为基础结构。输入数据经过一系列的线性变换和非线性激活函数，最终输出预测结果。与传统的线性回归不同，深度学习线性回归可以自动学习特征之间的复杂交互和组合，而不需要手动选择或设计特征。

深度学习线性回归的训练过程与传统神经网络的训练过程类似，使用梯度下降算法优化模型的参数，以最小化预测误差（如均方误差）。在训练过程中，通过反向传播算法计算梯度，并使用优化器（如Adam、SGD等）更新权重和偏置项。

深度学习线性回归的优点是可以处理高维、复杂的非线性数据，并且具有自动特征选择和组合的能力。然而，与传统的线性回归相比，深度学习线性回归需要更多的参数和计算资源，并且可能更容易过拟合。因此，在选择是否使用深度学习线性回归时，需要根据具体问题和数据集的特点进行权衡。

2. 步骤

线性回归从零开始实现步骤包括以下内容：

导入必要的库：在Python中，需要导入numpy库来处理数据和计算，以及matplotlib库来绘制数据和结果。
生成数据集：根据实际问题，可以使用随机数生成器生成一组训练数据集，包括输入特征和对应的标签。也可以使用真实数据集进行训练和测试。
初始化模型参数：为模型权重和偏置项设置初始值，这些初始值可以是随机数或基于先验知识的值。
定义模型：根据线性回归模型的公式，可以使用numpy的矩阵运算来构建模型。模型可以表示为y = w * x + b，其中x是输入特征，y是对应的标签，w是权重，b是偏置项。
计算损失函数：损失函数用于衡量模型的预测值与真实值之间的差距。对于线性回归问题，常用的损失函数是均方误差（MSE）。
执行梯度下降算法：梯度下降算法用于更新模型的参数以最小化损失函数。在每一步迭代中，根据梯度下降公式计算参数的更新方向和步长，并更新参数的值。
训练：重复执行步骤5和6，直到达到预设的迭代次数或损失函数达到可接受的值。
评估模型：使用测试数据集评估模型的性能，计算模型的预测值与真实值之间的误差或准确率等指标。
优化和调整：根据评估结果对模型进行调整，例如调整参数、增加特征或使用正则化等方法来提高模型的性能。
应用模型进行预测：将新数据输入到模型中进行预测，得到预测结果。

以上是线性回归从零开始实现的基本步骤，具体实现细节可能会根据问题和数据集的不同而有所差异。

3. 优缺点

线性回归的优点：

简单易行：线性回归模型简单易懂，实现起来也相对容易。
计算效率高：由于模型简单，计算复杂度较低，因此在线性回归中，无论是训练还是预测，计算速度都比较快。
可解释性强：线性回归模型可以给出每个特征的权重，这有助于理解特征对目标变量的影响程度。
适合处理线性关系：线性回归适合处理因变量和自变量之间存在线性关系的情况。
模型稳定性好：线性回归模型相对稳定，对异常值和噪声的鲁棒性较好。

然而，线性回归也存在一些缺点：

假设限制：线性回归基于一些假设，如误差项的独立性、同方差性、无序列相关性和常数方差等。在实际应用中，这些假设可能不成立，导致模型误判。
欠拟合与过拟合：如果线性模型过于简单（即过于欠拟合），它可能无法捕获数据的复杂模式；而如果模型过于复杂（即过拟合），它可能会捕获到数据中的噪声和无关紧要的信息。
无法处理非线性关系：对于非线性关系的数据，线性回归可能无法给出很好的预测。
对异常值敏感：如果数据集中存在异常值，线性回归模型的预测结果可能会受到影响。
特征选择困难：对于特征之间的交互和特征选择，线性回归模型可能会遇到困难。

4. 应用场景

线性回归的应用场景包括但不限于：

预测：当因变量是连续变量，并且与其影响因素有线性关系时，可以用线性回归进行建模。例如，预测信用卡用户的生命周期价值，可以基于用户所在小区的平均收入、年龄、学历、收入等因素进行线性回归建模。
模型解释：当需要理解自变量与因变量之间的关系时，可以通过建立线性回归模型，例如决策树、线性回归等模型，以自变量作为输入变量，以因变量作为目标变量进行建模，以此了解黑盒模型的运作机制，并对其作出解释。
全量实验效果评估：全量实验评估是指当在时间点时，对全量用户加入干预策略，然后评估策略所带来的影响。进行评估时，核心是要剥离其他因素，对实验效果进行评估，线性回归就能解决这个问题。
AB实验：在AB实验中，假定有两组无差异的用户群体和，以作为实验组对其施加策略干预，作为对照组不采取施加任何策略，来评估实验对观测变量的影响。可以通过t或z检验来得到结果，当然也可以建立线性回归模型，为是否为实验组的哑变量（当策略变多时，也可为分类变量），通过检验参数的显著性即可得到策略的效果。
预测疾病发生概率：医院可以根据患者的病历数据（如体检指标、药物复用情况、平时的饮食习惯等）来预测某种疾病发生的概率。
预测用户支付转化率：网站可以根据访问的历史数据（包括新用户的注册量、老用户的活跃度、网站内容的更新频率等）来预测用户的支付转化率。

以上只是部分应用场景，线性回归模型的应用非常广泛，具体应用取决于数据的特征和业务需求。

二，代码展现

1. 生成数据集(完整代码)

# 线性回归从零开始实现
# 生成数据集

# 导入必要的库
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import torch
from d2l import torch as d2l


# 定义一个生成合成数据的函数
def synthetic_data(w, b, num_examples):    # 函数参数包括权重w、偏置b和数据点数量num_examples
    # 生成y=Xw+b+噪声满足线性关系y=Xw+b的数据，并添加噪声
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))  # 创建一个形状为(num_examples, len(w))的张量X，元素值为从标准正态分布中抽取的随机数
    y = torch.matmul(X, w) + b  # 使用矩阵乘法计算y的值，y = X * w + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)  # 在y的值上添加从标准正态分布中抽取的随机噪声，噪声的标准差为0.01
    return X, y.reshape((-1, 1))  # 返回X和y。y被重新整形为(-1, 1)的形状，这是因为matplotlib在绘图时需要这样的形状


# 定义真实的权重和偏置值
true_w = torch.tensor([2, -3.4])  # 真实的权重w为[2, -3.4]的张量
true_b = 4.2  # 真实的偏置b为4.2的标量

# 使用上面定义的函数生成数据集
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)  # 生成1000个数据点作为训练或测试样本，特征为X，标签为y（即labels）

print('features:', features[0],'nlabel:', labels[0])
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1) 
# 这行代码也是从d2l库中调用的。它使用散点图来可视化特征和标签。#
# features[:, (1)].detach().numpy()选取了所有数据点的第二个特征（索引为1，因为索引是从0开始的）并转换为NumPy数组。
# #.detach()是PyTorch中的方法，用于从计算图中分离张量，这样张量就不会追踪其历史计算，这在进行绘图等操作时是很有用的。
# labels.detach().numpy()将标签转换为NumPy数组。这里的1表示散点的大小。
plt.show()

2. 各个函数解析

2.1 torch.normal()函数

normal(mean, std, *, generator=None, out=None)

参数说明：

mean (Tensor): 每个输出元素的均值。它是一个张量，其中包含各个分布的均值。
std (Tensor): 每个输出元素的标准差。它也是一个张量，其中包含各个分布的标准差。
*: 表示后面的参数是关键字参数。
generator: 可选参数，一个伪随机数生成器。
out: 可选参数，输出张量。

注意事项：

mean和std的形状不必匹配，但它们的元素总数必须相同。如果形状不匹配，将使用mean的形状作为返回输出张量的形状。
如果std是一个CUDA tensor，该函数将同步其设备与CPU。

2.2 torch.matmul()函数

matmul(input, other, *, out=None) -> Tensor

参数说明：

input (Tensor): 输入张量。
other (Tensor): 另一个张量。
*: 表示后面的参数是关键字参数。
out (Tensor, optional): 可选参数，输出张量。

行为取决于张量的维度如下：

如果两个张量都是一维的，返回点积（标量）。
如果两个参数都是二维的，返回矩阵-矩阵乘积。
如果第一个参数是一维的，而第二个参数是二维的，为了矩阵乘法，向其维度添加一个1。矩阵乘法之后，添加的维度被移除。
如果第一个参数是二维的，而第二个参数是一维的，返回矩阵-向量乘积。
如果两个参数都至少是一维的，并且至少有一个参数是N维的（其中N>2），则返回批处理矩阵乘法。如果第一个参数是一维的，为了批处理矩阵乘法，向其维度添加一个1，然后在批处理矩阵乘法之后移除它。如果第二个参数是一维的，为了批处理矩阵乘法，向其维度添加一个1，然后在批处理矩阵乘法之后移除它。非矩阵（即批处理）维度是广播的（因此必须可广播）。例如，如果input是一个(j × 1 × n × n)张量，而other是一个(k × n × n)张量，则out将是一个(j × k × n × n)张量。

2.3 d2l.plt.scatter()函数

scatter(x, y, s=None, c=None, marker=None, cmap=None, norm=None, vmin=None, vmax=None, alpha=None, linewidths=None, *, edgecolors=None, plotnonfinite=False, data=None, **kwargs)

参数说明：

x, y:这些是您要在散点图中表示的数据点的x和y坐标。
s:散点的面积，以像素为单位。这通常用于根据数据点的值进行大小调整。
c:用于颜色映射的单个值或数组，通常表示颜色或数据点的值。
marker:散点的形状。例如，'o'表示圆形，'.'表示点，','表示像素等。
cmap:颜色映射对象或名称。这决定了如何根据c参数的值映射颜色。
norm:用于映射到给定范围的归一化对象。这通常与cmap一起使用，以控制颜色映射的范围。
vmin, vmax:这些参数指定了归一化对象的下限和上限。它们与norm一起使用来控制颜色映射的范围。
alpha:散点的透明度。值范围从0（完全透明）到1（完全不透明）。
linewidths:用于绘制边框线的宽度。当不为None时，这会使散点变为带边框的圆圈。
edgecolors:用于边框线的颜色。这可以是单一的颜色或颜色数组，与数据点一一对应。
plotnonfinite:如果为True，则非有限数值的数据点将被绘制。默认为False。
data:提供给所有数据的原始数据的字典。这通常在传递给函数的数据不是直接参数时使用。
kwargs:其他关键字参数将传递给collections.PathCollection的构造函数，允许您自定义散点图的其他方面。例如，您可以指定label来在图例中标识这些点等。