本文介绍: 韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达(F. Vieta,1540—1603)最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,因此,人们把这个关系称为韦达定理。有趣的是,韦达在16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。韦达定理在方程论中有着广泛的应用。

=ac

2. 韦达定理的作用

不论是解方程,还是研究方程的性质,韦达定理都很有用。
一般来说,韦达定理主要有以下四个方面的用途。
(1)利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根;
(2)已知方程的两根之间的某种关系,可以求出方程的系数来;
(3)已知二次方程,求它的两个根的齐次幂的和;
(4)已知二次方程,求作一个新的二次方程,使得两个方程的根满足某种关系。

三、韦达定理的应用举例

1. 解题示例1

对于方程

x

2

(

m

1

)

x

+

m

7

=

0

x^2 – (m-1)x + m-7 = 0

x2(m1)x+m7=0
已知下列条件之一,求m的值。
(1)有一个根为0;
(2)两根互为倒数;
(3)两根互为相反数。

解:
(1)已知“有一个根为0”,不妨设

x

1

=

0

x_1=0

x1=0。由韦达定理可知

x

1

x

2

=

m

7

x_1 cdot x_2 = m-7

x1x2=m7

x

1

=

0

because x_1=0

x1=0

m

7

=

0

,

m

=

7

therefore m-7=0, m=7

m7=0,m=7

(2)已知“两根互为倒数”,必有

x

1

=

1

x

2

x_1= frac {1} {x_2}

x1=x21。由韦达定理可知

x

1

x

2

=

m

7

x_1 cdot x_2 = m-7

x1x2=m7

x

1

x

2

=

x

1

1

x

1

=

1

because x_1 cdot x_2 = x_1 cdot frac {1} {x_1} = 1

x1x2=x1x11=1

m

7

=

1

,

 

m

=

8

therefore m-7=1, space m=8

m7=1, m=8

(3)已知“两根互为相反数”,必有

x

1

=

x

2

x_1= -x_2

x1=x2。由韦达定理可知

x

1

+

x

2

=

m

1

x_1 + x_2 = m-1

x1+x2=m1

x

1

+

x

2

=

0

because x_1 + x_2 = 0

x1+x2=0

m

1

=

0

,

 

m

=

1

therefore m-1=0, space m=1

m1=0, m=1

2. 解题示例2

已知方程

x

2

+

2

x

18

=

0

x^2 + 2x -18 = 0

x2+2x18=0的两根为

α

,

β

alpha, beta

α,β
(1)写出以

2

α

+

3

β

2alpha+3beta

2α+3β

2

β

+

3

α

2beta+3alpha

2β+3α为两根的方程;
(2)写出以

α

+

2

β

alpha+frac{2}{beta}

α+β2

β

+

2

α

beta+frac{2}{alpha}

β+α2为两根的方程。

解:
(1)由韦达定理得

α

+

β

=

2

, 

α

β

=

18

alpha+beta = -2,space alpha cdot beta = -18

α+β=2 αβ=18

(

2

α

+

3

β

)

+

(

2

β

+

3

α

)

=

5

(

α

+

β

)

=

5

×

(

2

)

=

10

because (2alpha+3beta) + (2beta+3alpha) = 5(alpha+beta) = 5 times (-2) = -10

(2α+3β)+(2β+3α)=5(α+β)=5×(2)=10

(

2

α

+

3

β

)

(

2

β

+

3

α

)

because (2alpha+3beta) cdot (2beta+3alpha)

(2α+3β)(2β+3α)

=

6

α

2

+

13

α

β

+

6

β

2

=6alpha^2+13alphabeta+6beta^2

=6α2+13αβ+6β2

=

6

(

α

2

+

β

2

)

+

13

×

(

18

)

=6(alpha^2+beta^2)+13times(-18)

=6(α2+β2)+13×(18)

=

6

(

α

2

+

β

2

)

234

=6(alpha^2+beta^2)-234

=6(α2+β2)234

α

2

+

β

2

=

(

α

+

β

)

2

2

α

β

alpha^2+beta^2 = (alpha+beta)^2 – 2alphabeta

α2+β2=(α+β)22αβ

=

(

2

)

2

2

×

(

18

)

=

40

=(-2)^2 – 2times(-18) = 40

=(2)22×(18)=40

(

2

α

+

3

β

)

(

2

β

+

3

α

)

therefore (2alpha+3beta) cdot (2beta+3alpha)

(2α+3β)(2β+3α)

=

6

×

40

234

=

6

=6times40-234 = 6

=6×40234=6

所求方程为

x

2

+

10

x

+

6

=

0

therefore 所求方程为x^2 + 10x + 6 = 0

所求方程为x2+10x+6=0

(1)由韦达定理得

(

α

+

2

β

)

+

(

β

+

2

α

)

(alpha+frac{2}{beta}) + (beta+frac{2}{alpha})

(α+β2)+(β+α2)

=

α

+

β

+

2

α

+

β

α

β

= alpha + beta + 2 frac {alpha+beta} {alphabeta}

=α+β+2αβα+β

=

2

+

2

×

2

18

=

16

9

= -2 + 2 times frac{-2}{-18} = – frac {16} {9}

=2+2×182=916

(

α

+

2

β

)

(

β

+

2

α

)

(alpha+frac{2}{beta}) cdot (beta+frac{2}{alpha})

(α+β2)(β+α2)

=

α

β

+

4

α

β

+

4

=

18

+

4

18

+

4

=

128

9

= alpha beta + frac {4} { alpha beta} +4 = -18 + frac {4} {-18} + 4 = – frac {128} {9}

=αβ+αβ4+4=18+184+4=9128

所求方程为

9

x

2

+

16

x

128

=

0

therefore 所求方程为9x^2 + 16x – 128 = 0

所求方程为9x2+16x128=0

3. 解题示例3

已知方程

x

2

x

4

=

0

x^2 – x – 4 = 0

x2x4=0,不许解方程,求

x

1

2

+

x

2

2

x_1^2 + x_2^2

x12+x22

1

x

1

3

+

1

x

2

3

frac {1} {x_1^3} + frac {1} {x_2^3}

x131+x231的值。 (1956年北京市中学生数学竞赛试题)
解:
由韦达定理可知

x

1

+

x

2

=

1

x

1

x

2

=

4

x_1 + x_2 = 1,x_1 · x_2 = -4

x1+x2=1x1x2=4

x

1

2

+

x

2

2

=

(

x

1

+

x

2

)

2

2

x

1

x

2

=

1

2

2

×

(

4

)

=

9

x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 1^2 – 2 times (-4) = 9

x12+x22=(x1+x2)22x1x2=122×(4)=9

1

x

1

3

+

1

x

2

3

frac {1} {x_1^3} + frac {1} {x_2^3}

x131+x231

=

x

1

3

+

x

2

3

x

1

3

x

2

3

=

(

x

1

+

x

2

)

(

x

1

2

x

1

x

2

+

x

2

2

)

(

x

1

x

2

)

3

= frac {x_1^3 + x_2^3} {x_1^3 cdot x_2^3} = frac {(x_1+x_2)( x_1^2 -x_1 x_2+ x_2^2)} {(x_1 cdot x_2)^3}

=x13x23x13+x23=(x1x2)3(x1+x2)(x12x1x2+x22)

=

(

x

1

+

x

2

)

[

(

x

1

2

+

x

2

2

)

x

1

x

2

]

(

x

1

x

2

)

3

= frac {(x_1+x_2)[( x_1^2 + x_2^2) – x_1 x_2]} {(x_1 cdot x_2)^3}

=(x1x2)3(x1+x2)[(x12+x22)x1x2]

1

×

[

9

(

4

)

]

(

4

)

3

=

13

64

frac {1 times [9-(-4)]} {(-4)^3} = – frac {13} {64}

(4)31×[9(4)]=6413

4. 解题示例4

已知

p

+

q

=

198

p+q=198

p+q=198,求方程

x

2

+

p

x

+

q

=

0

x^2+px+q=0

x2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解:设方程的两整数根为

x

1

,

x

2

x_1, x_2

x1,x2,不妨设

x

1

x

2

x_1≤x_2

x1x2. 由韦达定理,得

x

1

+

x

2

=

p

x

1

x

2

=

q

x_1+x_2=-p,x_1 cdot x_2=q

x1+x2=px1x2=q

于是

p

+

q

=

x

1

x

2

(

x

1

+

x

2

)

=

198

p+q=x_1·x_2-(x_1+x_2)=198

p+q=x1x2(x1+x2)=198

x

1

x

2

x

1

x

2

+

1

=

199

x_1·x_2-x_1-x_2+1=199

x1x2x1x2+1=199

∴运用提取公因式法

(

x

1

1

)

(

x

2

1

)

=

199

(x_1-1)·(x_2-1)=199

(x11)(x21)=199

注意到

(

x

1

1

)

,

(

x

2

1

)

(x_1-1), (x_2-1)

(x11),(x21)均为整数,

解得

x

1

=

2

x

2

=

200

x

1

=

198

x

2

=

0

x_1=2,x_2=200;x_1=-198,x_2=0

x1=2x2=200x1=198x2=0

5. 解题示例5

已知关于

x

x

x的方程

x

2

(

12

m

)

x

+

m

1

=

0

x^2-(12-m)x+m-1=0

x2(12m)x+m1=0的两个根都是正整数,求

m

m

m的值.

解:设方程的两个正整数根为

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1,x2,且不妨设

x

1

x

2

x_1≤x_2

x1x2.由韦达定理得

x

1

+

x

2

=

12

m

x

1

x

2

=

m

1

x_1+x_2=12-m,x_1 cdot x_2=m-1

x1+x2=12mx1x2=m1

于是

x

1

x

2

+

x

1

+

x

2

=

11

x_1 cdot x_2 + x_1+x_2 = 11

x1x2+x1+x2=11

(

x

1

+

1

)

(

x

2

+

1

)

=

12

(x_1+1)( x_2+1)=12

(x1+1)(x2+1)=12

x

1

,

x

2

x_1, x_2

x1,x2为正整数,

解得

x

1

=

1

x

2

=

5

x

1

=

2

x

2

=

3

x_1=1,x_2=5;x_1=2,x_2=3

x1=1x2=5x1=2x2=3

故有

m

=

6

,或

m

=

7.

m=6,或m=7.

m=6,或m=7.

6. 解题示例6

求实数

k

k

k,使得方程

k

x

2

+

(

k

+

1

)

x

+

(

k

1

)

=

0

kx^2+(k+1)x+(k-1)=0

kx2+(k+1)x+(k1)=0的根都是整数.

解:若

k

=

0

k=0

k=0,得

x

=

1

x=1

x=1,即

k

=

0

k=0

k=0符合要求.

k

0

k≠0

k=0,设二次方程的两个整数根为

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1,x2,且

x

1

x

2

x_1≤x_2

x1x2,由韦达定理得

x

1

+

x

2

=

k

+

1

k

x

1

x

2

=

k

1

k

x_1+x_2 = – frac {k+1} {k},x_1 cdot x_2 = frac {k-1} {k}

x1+x2=kk+1x1x2=kk1

x

1

x

2

x

1

x

2

=

k

1

k

(

k

+

1

k

)

=

2

∴ x_1 cdot x_2 – x_1 – x_2 = frac {k-1} {k} – (- frac {k+1} {k}) = 2

x1x2x1x2=kk1(kk+1)=2

(

x

1

1

)

(

x

2

1

)

=

3

∴ (x_1-1)( x_2-1)=3

(x11)(x21)=3

因为

x

1

1

,

x

2

1

x_1 – 1, x_2 – 1

x11,x21均为整数,所以有

x

1

=

2

x

2

=

4

x

1

=

2

x

2

=

0

x_1=2,x_2=4;x_1=-2,x_2=0

x1=2x2=4x1=2x2=0

所以

k

=

1

,或

k

=

1

7

k=1,或k=- frac 1 7

k=1,或k=71

7. 解题示例7

已知二次函数

y

=

x

2

+

p

x

+

q

y=-x^2+px+q

y=x2+px+q的图像与

x

x

x轴交于

(

α

0

)

(

β

0

)

(α,0)、(β,0)

(α0)(β0)两点,且

α

>

1

>

β

α>1>β

α>1>β,求证:

p

+

q

>

1

p+q>1

p+q>1. (1997年四川省初中数学竞赛试题)

证明:由题意,可知方程

x

2

+

p

x

+

q

=

0

-x^2+px+q=0

x2+px+q=0,即

x

2

p

x

q

=

0

x^2-px-q=0

x2pxq=0的两根为

α

,

β

α,β

α,β.

由韦达定理得

α

+

β

=

p

α

β

=

q

α+β=p,αβ=-q

α+β=pαβ=q

于是

p

+

q

=

α

+

β

α

β

=

(

α

β

α

β

+

1

)

+

1

p+q=α+β-αβ=-(αβ-α-β+1)+1

p+q=α+βαβ=(αβαβ+1)+1

因为

α

>

1

>

β

α>1>β

α>1>β,故

p

+

q

=

(

α

1

)

(

β

1

)

+

1

>

1

p+q = -(α-1)(β-1)+1 > 1

p+q=(α1)(β1)+1>1


总结

法国数学家韦达(F. Vieta,1540—1603)第一次有意识地使用系统的代数字母与符号,以辅音字母表示已知量,元音字母表示未知量,推进了方程论的发展,使代数成为一般类型的形式和方程的学问,因其抽象而应用更为广泛,被称为“代数符号之父”,在研究一元二次方程的解法时,他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理。

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