韦达定理用处多

​​=ac​

2. 韦达定理的作用

不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有用。
一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。
(1）利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根；
(2）已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来；
(3）已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和；
(4）已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。

三、韦达定理的应用举例

1. 解题示例1

对于方程

x

2

−

(

m

−

1

)

x

+

m

−

7

=

0

x^2 – (m-1)x + m-7 = 0

x2−(m−1)x+m−7=0
已知下列条件之一，求m的值。
（1）有一个根为0；
（2）两根互为倒数；
（3）两根互为相反数。

解：
（1）已知“有一个根为0”，不妨设

x

1

=

0

x_1=0

x1​=0。由韦达定理可知

x

1

⋅

x

2

=

m

−

7

x_1 cdot x_2 = m-7

x1​⋅x2​=m−7

∵

x

1

=

0

because x_1=0

∵x1​=0

∴

m

−

7

=

0

,

m

=

7

therefore m-7=0, m=7

∴m−7=0,m=7

（2）已知“两根互为倒数”，必有

x

1

=

1

x

2

x_1= frac {1} {x_2}

x1​=x2​1​。由韦达定理可知

x

1

⋅

x

2

=

m

−

7

x_1 cdot x_2 = m-7

x1​⋅x2​=m−7

∵

x

1

⋅

x

2

=

x

1

⋅

1

x

1

=

1

because x_1 cdot x_2 = x_1 cdot frac {1} {x_1} = 1

∵x1​⋅x2​=x1​⋅x1​1​=1

∴

m

−

7

=

1

,

 

m

=

8

therefore m-7=1, space m=8

∴m−7=1, m=8

（3）已知“两根互为相反数”，必有

x

1

=

−

x

2

x_1= -x_2

x1​=−x2​。由韦达定理可知

x

1

+

x

2

=

m

−

1

x_1 + x_2 = m-1

x1​+x2​=m−1

∵

x

1

+

x

2

=

0

because x_1 + x_2 = 0

∵x1​+x2​=0

∴

m

−

1

=

0

,

 

m

=

1

therefore m-1=0, space m=1

∴m−1=0, m=1

2. 解题示例2

已知方程

x

2

+

2

x

−

18

=

0

x^2 + 2x -18 = 0

x2+2x−18=0的两根为

α

,

β

alpha, beta

α,β。
（1）写出以

2

α

+

3

β

2alpha+3beta

2α+3β，

2

β

+

3

α

2beta+3alpha

2β+3α为两根的方程；
（2）写出以

α

+

2

β

alpha+frac{2}{beta}

α+β2​，

β

+

2

α

beta+frac{2}{alpha}

β+α2​为两根的方程。

解：
（1）由韦达定理得

α

+

β

=

−

2

， 

α

⋅

β

=

−

18

alpha+beta = -2，space alpha cdot beta = -18

α+β=−2， α⋅β=−18

∵

(

2

α

+

3

β

)

+

(

2

β

+

3

α

)

=

5

(

α

+

β

)

=

5

×

(

−

2

)

=

−

10

because (2alpha+3beta) + (2beta+3alpha) = 5(alpha+beta) = 5 times (-2) = -10

∵(2α+3β)+(2β+3α)=5(α+β)=5×(−2)=−10
又

∵

(

2

α

+

3

β

)

⋅

(

2

β

+

3

α

)

because (2alpha+3beta) cdot (2beta+3alpha)

∵(2α+3β)⋅(2β+3α)

=

6

α

2

+

13

α

β

+

6

β

2

=6alpha^2+13alphabeta+6beta^2

=6α2+13αβ+6β2

=

6

(

α

2

+

β

2

)

+

13

×

(

−

18

)

=6(alpha^2+beta^2)+13times(-18)

=6(α2+β2)+13×(−18)

=

6

(

α

2

+

β

2

)

−

234

=6(alpha^2+beta^2)-234

=6(α2+β2)−234
而

α

2

+

β

2

=

(

α

+

β

)

2

−

2

α

β

alpha^2+beta^2 = (alpha+beta)^2 – 2alphabeta

α2+β2=(α+β)2−2αβ

=

(

−

2

)

2

−

2

×

(

−

18

)

=

40

=(-2)^2 – 2times(-18) = 40

=(−2)2−2×(−18)=40

∴

(

2

α

+

3

β

)

⋅

(

2

β

+

3

α

)

therefore (2alpha+3beta) cdot (2beta+3alpha)

∴(2α+3β)⋅(2β+3α)

=

6

×

40

−

234

=

6

=6times40-234 = 6

=6×40−234=6

∴

所求方程为

x

2

+

10

x

+

6

=

0

therefore 所求方程为x^2 + 10x + 6 = 0

∴所求方程为x2+10x+6=0

（1）由韦达定理得

(

α

+

2

β

)

+

(

β

+

2

α

)

(alpha+frac{2}{beta}) + (beta+frac{2}{alpha})

(α+β2​)+(β+α2​)

=

α

+

β

+

2

α

+

β

α

β

= alpha + beta + 2 frac {alpha+beta} {alphabeta}

=α+β+2αβα+β​

=

−

2

+

2

×

−

2

−

18

=

−

16

9

= -2 + 2 times frac{-2}{-18} = – frac {16} {9}

=−2+2×−18−2​=−916​
又

(

α

+

2

β

)

⋅

(

β

+

2

α

)

(alpha+frac{2}{beta}) cdot (beta+frac{2}{alpha})

(α+β2​)⋅(β+α2​)

=

α

β

+

4

α

β

+

4

=

−

18

+

4

−

18

+

4

=

−

128

9

= alpha beta + frac {4} { alpha beta} +4 = -18 + frac {4} {-18} + 4 = – frac {128} {9}

=αβ+αβ4​+4=−18+−184​+4=−9128​

∴

所求方程为

9

x

2

+

16

x

−

128

=

0

therefore 所求方程为9x^2 + 16x – 128 = 0

∴所求方程为9x2+16x−128=0

3. 解题示例3

已知方程

x

2

−

x

−

4

=

0

x^2 – x – 4 = 0

x2−x−4=0，不许解方程，求

x

1

2

+

x

2

2

x_1^2 + x_2^2

x12​+x22​和

1

x

1

3

+

1

x

2

3

frac {1} {x_1^3} + frac {1} {x_2^3}

x13​1​+x23​1​的值。 (1956年北京市中学生数学竞赛试题)
解：
由韦达定理可知

x

1

+

x

2

=

1

，

x

1

⋅

x

2

=

−

4

x_1 + x_2 = 1，x_1 · x_2 = -4

x1​+x2​=1，x1​⋅x2​=−4

x

1

2

+

x

2

2

=

(

x

1

+

x

2

)

2

−

2

x

1

x

2

=

1

2

−

2

×

(

−

4

)

=

9

x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 1^2 – 2 times (-4) = 9

x12​+x22​=(x1​+x2​)2−2x1​x2​=12−2×(−4)=9

1

x

1

3

+

1

x

2

3

frac {1} {x_1^3} + frac {1} {x_2^3}

x13​1​+x23​1​

=

x

1

3

+

x

2

3

x

1

3

⋅

x

2

3

=

(

x

1

+

x

2

)

(

x

1

2

−

x

1

x

2

+

x

2

2

)

(

x

1

⋅

x

2

)

3

= frac {x_1^3 + x_2^3} {x_1^3 cdot x_2^3} = frac {(x_1+x_2)( x_1^2 -x_1 x_2+ x_2^2)} {(x_1 cdot x_2)^3}

=x13​⋅x23​x13​+x23​​=(x1​⋅x2​)3(x1​+x2​)(x12​−x1​x2​+x22​)​

=

(

x

1

+

x

2

)

[

(

x

1

2

+

x

2

2

)

−

x

1

x

2

]

(

x

1

⋅

x

2

)

3

= frac {(x_1+x_2)[( x_1^2 + x_2^2) – x_1 x_2]} {(x_1 cdot x_2)^3}

=(x1​⋅x2​)3(x1​+x2​)[(x12​+x22​)−x1​x2​]​

1

×

[

9

−

(

−

4

)

]

(

−

4

)

3

=

−

13

64

frac {1 times [9-(-4)]} {(-4)^3} = – frac {13} {64}

(−4)31×[9−(−4)]​=−6413​

4. 解题示例4

已知

p

+

q

=

198

p+q=198

p+q=198，求方程

x

2

+

p

x

+

q

=

0

x^2+px+q=0

x2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)

解：设方程的两整数根为

x

1

,

x

2

x_1, x_2

x1​,x2​，不妨设

x

1

≤

x

2

x_1≤x_2

x1​≤x2​. 由韦达定理，得

x

1

+

x

2

=

−

p

，

x

1

⋅

x

2

=

q

x_1+x_2=-p，x_1 cdot x_2=q

x1​+x2​=−p，x1​⋅x2​=q

于是

p

+

q

=

x

1

⋅

x

2

−

(

x

1

+

x

2

)

=

198

p+q=x_1·x_2-(x_1+x_2)=198

p+q=x1​⋅x2​−(x1​+x2​)=198

即

x

1

⋅

x

2

−

x

1

−

x

2

+

1

=

199

x_1·x_2-x_1-x_2+1=199

x1​⋅x2​−x1​−x2​+1=199

∴运用提取公因式法

(

x

1

−

1

)

⋅

(

x

2

−

1

)

=

199

(x_1-1)·(x_2-1)=199

(x1​−1)⋅(x2​−1)=199

注意到

(

x

1

−

1

)

,

(

x

2

−

1

)

(x_1-1), (x_2-1)

(x1​−1),(x2​−1)均为整数，

解得

x

1

=

2

，

x

2

=

200

；

x

1

=

−

198

，

x

2

=

0

x_1=2，x_2=200；x_1=-198，x_2=0

x1​=2，x2​=200；x1​=−198，x2​=0

5. 解题示例5

已知关于

x

x

x的方程

x

2

−

(

12

−

m

)

x

+

m

−

1

=

0

x^2-(12-m)x+m-1=0

x2−(12−m)x+m−1=0的两个根都是正整数，求

m

m

m的值.

解：设方程的两个正整数根为

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​，且不妨设

x

1

≤

x

2

x_1≤x_2

x1​≤x2​.由韦达定理得

x

1

+

x

2

=

12

−

m

，

x

1

⋅

x

2

=

m

−

1

x_1+x_2=12-m，x_1 cdot x_2=m-1

x1​+x2​=12−m，x1​⋅x2​=m−1

于是

x

1

⋅

x

2

+

x

1

+

x

2

=

11

x_1 cdot x_2 + x_1+x_2 = 11

x1​⋅x2​+x1​+x2​=11

即

(

x

1

+

1

)

(

x

2

+

1

)

=

12

(x_1+1)( x_2+1)=12

(x1​+1)(x2​+1)=12

∵

x

1

,

x

2

x_1, x_2

x1​,x2​为正整数，

解得

x

1

=

1

，

x

2

=

5

；

x

1

=

2

，

x

2

=

3

x_1=1，x_2=5；x_1=2，x_2=3

x1​=1，x2​=5；x1​=2，x2​=3

故有

m

=

6

，或

m

=

7.

m=6，或m=7.

m=6，或m=7.

6. 解题示例6

求实数

k

k

k，使得方程

k

x

2

+

(

k

+

1

)

x

+

(

k

−

1

)

=

0

kx^2+(k+1)x+(k-1)=0

kx2+(k+1)x+(k−1)=0的根都是整数.

解：若

k

=

0

k=0

k=0，得

x

=

1

x=1

x=1，即

k

=

0

k=0

k=0符合要求.
若

k

≠

0

k≠0

k=0，设二次方程的两个整数根为

x

1

,

x

2

x_1,x_2

x1​,x2​，且

x

1

≤

x

2

x_1≤x_2

x1​≤x2​，由韦达定理得

x

1

+

x

2

=

−

k

+

1

k

，

x

1

⋅

x

2

=

k

−

1

k

x_1+x_2 = – frac {k+1} {k}，x_1 cdot x_2 = frac {k-1} {k}

x1​+x2​=−kk+1​，x1​⋅x2​=kk−1​

∴

x

1

⋅

x

2

−

x

1

−

x

2

=

k

−

1

k

−

(

−

k

+

1

k

)

=

2

∴ x_1 cdot x_2 – x_1 – x_2 = frac {k-1} {k} – (- frac {k+1} {k}) = 2

∴x1​⋅x2​−x1​−x2​=kk−1​−(−kk+1​)=2

∴

(

x

1

−

1

)

(

x

2

−

1

)

=

3

∴ (x_1-1)( x_2-1)=3

∴(x1​−1)(x2​−1)=3

因为

x

1

−

1

,

x

2

−

1

x_1 – 1, x_2 – 1

x1​−1,x2​−1均为整数，所以有

x

1

=

2

，

x

2

=

4

；

x

1

=

−

2

，

x

2

=

0

x_1=2，x_2=4；x_1=-2，x_2=0

x1​=2，x2​=4；x1​=−2，x2​=0

所以

k

=

1

，或

k

=

−

1

7

k=1，或k=- frac 1 7

k=1，或k=−71​

7. 解题示例7

已知二次函数

y

=

−

x

2

+

p

x

+

q

y=-x^2+px+q

y=−x2+px+q的图像与

x

x

x轴交于

(

α

，

0

)

、

(

β

，

0

)

(α，0)、(β，0)

(α，0)、(β，0)两点，且

α

>

1

>

β

α>1>β

α>1>β，求证：

p

+

q

>

1

p+q>1

p+q>1. (1997年四川省初中数学竞赛试题)

证明：由题意，可知方程

−

x

2

+

p

x

+

q

=

0

-x^2+px+q=0

−x2+px+q=0，即

x

2

−

p

x

−

q

=

0

x^2-px-q=0

x2−px−q=0的两根为

α

,

β

α,β

α,β.

由韦达定理得

α

+

β

=

p

，

α

β

=

−

q

α+β=p，αβ=-q

α+β=p，αβ=−q

于是

p

+

q

=

α

+

β

−

α

β

=

−

(

α

β

−

α

−

β

+

1

)

+

1

p+q=α+β-αβ=-(αβ-α-β+1)+1

p+q=α+β−αβ=−(αβ−α−β+1)+1

因为

α

>

1

>

β

α>1>β

α>1>β，故

p

+

q

=

−

(

α

−

1

)

(

β

−

1

)

+

1

>

1

p+q = -(α-1)(β-1)+1 > 1

p+q=−(α−1)(β−1)+1>1

---

总结

法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。