梅氏定理和塞瓦定理
一、说明
在射影几何中，梅涅劳斯（Menelaus）定理和塞瓦定理是非常重要的基本定理。通过这两个定理，可以导出多项结论，如：极点-极线性质、德萨格定理、pascal定理等；本篇专门叙述这两个定理证明。及相关启发。
二、梅涅劳斯（Menelaus）定理
梅涅劳斯（Menelaus）定理（简称梅氏定理）最早出现在由古希腊数学家梅涅劳斯的著作《球面学》（Sphaerica）中。
定理定义
当一条直线交
Δ
A
B
C
Delta ABC
ΔABC三边所在的直线
B
C
,
A
C
,
A
B
BC,AC,AB
BC,AC,AB分别于点
D
,
E
,
F
D,E,F
D,E,F时，则有
A
F
F
B
B
D
D
C
C
E
E
A
=
1
frac{AF}{FB} frac{BD}{DC}frac{CE}{EA}=1
FBAFDCBDEACE=1
分析：显然，
D
,
E
,
F
D,E,F
D,E,F分别为线段
B
C
,
A
C
,
A
B
BC,AC,AB
BC,AC,AB的定比分点。因此：
A
F
F
B
=
λ
1
;
B
D
D
C
=
λ
2
;
C
E
E
A
=
λ
3
frac{AF}{FB}=lambda_1 ; ; frac{BD}{DC} =lambda_2;frac{CE}{EA}=lambda_3
FBAF=λ1;DCBD=λ2;EACE=λ3
因此，等价说法是：
λ
1
λ
2
λ
3
=
1
lambda_1 lambda_2lambda_3=1
λ1λ2λ3=1
[定理证明]
过点A作
A
G
∥
D
B
AGparallel DB
AG∥DB交
B
C
BC
BC的延长线于G点, 则:
A
F
F
B
=
λ
1
=
D
G
B
D
frac{AF}{FB}=lambda_1=frac{DG}{BD}
FBAF=λ1=BDDG
C
E
E
A
=
λ
3
=
C
D
D
G
frac{CE}{EA}=lambda_3=frac{CD}{DG}
EACE=λ3=DGCD
∴
A
F
F
B
B
D
D
C
C
E
E
A
=
λ
1
λ
2
λ
3
=
D
G
B
D
B
D
D
C
C
D
D
G
=
1
therefore frac{AF}{FB} frac{BD}{DC}frac{CE}{EA}= lambda_1 lambda_2lambda_3=frac{DG}{BD} frac{BD}{DC}frac{CD}{DG}=1
∴FBAFDCBDEACE=λ1λ2λ3=BDDGDCBDDGCD=1
[证毕]
三、塞瓦(Giovanni Ceva）定理
塞瓦(Giovanni Ceva，1648~1734)意大利水利工程师，数学家。塞瓦定理载于塞瓦于1678年发表的《直线论》一书，也有书中说塞瓦定理是塞瓦重大发现。
【定理说明】
塞瓦定理是指在△ABC内任取一点O，延长AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1。
分析：
四、塞瓦点的推广
4.1 共线定理
证明「梅涅劳斯定理」和「塞瓦定理」，为了思路的简洁开明，需要介绍共边定理；引理本身是足够简明直观的，介绍如下：
有参考图如下：
在上面的四种情况下，有：
P
M
Q
M
=
S
Δ
P
A
B
S
Δ
Q
A
B
frac{PM}{QM} = frac{S_{Delta PAB}}{S_{Delta QAB}}
QMPM=SΔQABSΔPAB
证明就免了，无非三角形底边相同的时候，面积与高成比例，高又与斜线成比例，因此面积和斜边成比例。
4.2 三角形外的塞瓦点
当塞瓦点在三角形外部，如下图：🔺ABC的三条线段的交点O位于三角形ABC的外部：
A
F
F
B
B
D
D
C
C
E
E
A
=
1
frac{AF}{FB} frac{BD}{DC}frac{CE}{EA}=1
FBAFDCBDEACE=1
【证明】
B
D
D
C
=
S
Δ
A
B
D
S
Δ
A
D
C
=
S
Δ
O
B
D
S
Δ
O
D
C
frac{BD}{DC} = frac{S_{Delta ABD}}{S_{Delta ADC}} =frac{S_{Delta OBD}}{S_{Delta ODC}}
DCBD=SΔADCSΔABD=SΔODCSΔOBD
更比定理：
B
D
D
C
=
S
Δ
A
B
D
−
S
Δ
O
B
D
S
Δ
A
D
C
−
S
Δ
O
B
D
=
S
Δ
O
B
A
S
Δ
C
A
O
frac{BD}{DC} = frac{S_{Delta ABD}-S_{Delta OBD}}{S_{Delta ADC}-S_{Delta OBD}} =frac{S_{Delta OBA}}{S_{Delta CAO}}
DCBD=SΔADC−SΔOBDSΔABD−SΔOBD=SΔCAOSΔOBA
C
E
E
A
=
S
Δ
B
C
O
S
Δ
A
B
O
frac{CE}{EA} = frac{S_{Delta BCO}}{S_{Delta ABO}}
EACE=SΔABOSΔBCO
A
F
F
B
=
S
Δ
C
A
O
S
Δ
B
C
O
frac{AF}{FB} = frac{S_{Delta CAO}}{S_{Delta BCO}}
FBAF=SΔBCOSΔCAO
A
F
F
B
B
D
D
C
C
E
E
A
=
S
Δ
C
A
O
S
Δ
B
C
O
S
Δ
O
B
A
S
Δ
C
A
O
S
Δ
B
C
O
S
Δ
A
B
O
=
1
frac{AF}{FB} frac{BD}{DC}frac{CE}{EA}= frac{S_{Delta CAO}}{S_{Delta BCO}}frac{S_{Delta OBA}}{S_{Delta CAO}}frac{S_{Delta BCO}}{S_{Delta ABO}} = 1
FBAFDCBDEACE=SΔBCOSΔCAOSΔCAOSΔOBASΔABOSΔBCO=1
【证毕】
原文地址:https://blog.csdn.net/gongdiwudu/article/details/136064347
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