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λ-矩阵
若矩阵
A
mathbf{A}
A 的元素为关于
λ
λ
λ 的多项式，则称
A
mathbf{A}
A 为
λ
λ
λ-矩阵 (表示为
A
(
λ
)
mathbf{A}(λ)
A(λ)).
λ
λ
λ-矩阵也存在秩、逆、初等变换、相抵的概念, 但是有一些不同.
定义.
λ
λ
λ-矩阵的秩是指最高阶非零子式的阶数. 秩等于矩阵阶数则称矩阵是满秩的.
定理.
λ
λ
λ-矩阵满秩等价于行列式不为
0
0
0.
定义.
λ
λ
λ-矩阵的初等行变换有3种: ① 交换两行; ② 数乘行; ③ 一行乘以
ψ
(
λ
)
psi(lambda)
ψ(λ) 倍加到另一行，其中
ψ
(
λ
)
psi(lambda)
ψ(λ) 是以
λ
lambda
λ 为变元的多项式. 类似地定义初等列变换. 初等行变换和初等列变换统称为初等变换.
可以看出, 初等行/列变换仅③和常数矩阵不同, 乘以常数换成了乘以多项式.
定义. 若一个
λ
λ
λ-矩阵可经有限次初等变换得到另一个
λ
λ
λ-矩阵, 则称两个矩阵相抵.
仿照常数矩阵, 可得如下定理:
定理. 相抵的
λ
λ
λ-矩阵一定等秩.
但等秩的矩阵不一定相抵.
借助Smith标准形的知识可以得如下定理:
定理.
λ
λ
λ-矩阵相抵的充要条件是行列式差一个非零常系数.
定义. 对于
A
(
λ
)
bm A(lambda)
A(λ), 若存在
λ
λ
λ-矩阵
B
(
λ
)
bm B(lambda)
B(λ) 使得
A
(
λ
)
B
(
λ
)
=
B
(
λ
)
A
(
λ
)
=
I
bm A(lambda) bm B(lambda)=bm B(lambda)bm A(lambda)=bm I
A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I, 则称
A
(
λ
)
bm A(lambda)
A(λ) 为可逆阵,
B
(
λ
)
bm B(lambda)
B(λ) 为
A
(
λ
)
bm A(lambda)
A(λ) 的逆矩阵.
λ
λ
λ-矩阵可逆一定满秩，但满秩不一定可逆.
仿照常数矩阵, 可得如下定理:
定理.
λ
λ
λ-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.
定理. 对于
n
n
n 阶
λ
λ
λ-矩阵
A
(
λ
)
bm A(lambda)
A(λ), 若存在
n
n
n 阶
λ
λ
λ-矩阵
B
(
λ
)
bm B(lambda)
B(λ), 满足
A
(
λ
)
B
(
λ
)
=
I
bm A(lambda) bm B(lambda)=bm{I}
A(λ)B(λ)=I/
B
(
λ
)
A
(
λ
)
=
I
bm B(lambda) bm A(lambda)=bm{I}
B(λ)A(λ)=I, 则
A
(
λ
)
bm A(lambda)
A(λ) 是可逆的, 其逆矩阵为
B
(
λ
)
bm B(lambda)
B(λ).
借助Smith标准形的知识可以得如下定理:
定理.
λ
λ
λ-矩阵可逆的充要条件是相抵于单位阵.
原文地址:https://blog.csdn.net/Jinyindao243052/article/details/136064007
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